正如上面所说的那样，只要结果和在有限点的某个邻域中明确定义，这里就没有问题$\mathbb{C}$（我们总是可以转移事物来寻找时刻，如果它们存在的话，或者概率，不管数字是多少）。您可以考虑几件事。首先，如果概率$p_n$支持$\text{Supp}(p) = \{-N, 1-N,...\} \cup \mathbb{N}$，那么显然完全没有问题，因为我们将生成函数定义为

$$G(z) = \sum_{n \geq -N}p_n z^n = \sum_{n \geq 0}q_n z^n,$$ 在哪里$q_n = p_{n - N}$，让你回到熟悉的正能量案例。同样，如果您的概率分布支持$-\mathbb{N} \cap \{0,1,...,N\}$， 定义$r_n = p_{N-n}$并且类似的结果是显而易见的。因此，当您的系列是双重无限的 Laurent 系列时，唯一真正的问题就变成了： $$G(z) = \sum_{-\infty}^{\infty}p_n z^{n}.$$ 非零$p_n\ \forall n < 0$. 这绝对是一个问题——请参阅关于 Laurent 系列的维基百科文章进行讨论。问题的要点是，在这种情况下，$G$可能在其收敛环的内盘上有一个本质奇点或一些非平凡的行为。

这给出了（又一个）理由在可能的情况下更喜欢特征函数......

我相信这基本上是因为通常治疗依赖于适用于非负幂总和的结果。

Abel 定理就是所依赖的那种事情的一个例子。对于采用负值的 rv，您必须尝试在没有它的情况下建立收敛半径。

因此，当 X 可能为负时，需要处理一些问题（当然，无论如何我们仍然有 MGF、特征函数等）。您可能会发现此[1] 及其一些参考资料很有用。讨论是从非负整数上的随机变量扩展到更一般的情况（例如，处理确定特征函数和 pgf 之间的连接仍然适用于变量也取负值，只要尾部衰减最小指数）。

因此，至少在某些条件下，它似乎可以在您想要的意义上进行扩展。

[1] Esquível, ML (2004),
离散实值随机变量的概率生成函数，
（作者链接）

（概率）生成函数（a/k/a阶乘矩生成函数）定义为

$$h_X(t) = E\{t^X\}.$$ 普通矩生成函数定义为 $$M_X(t) = E\{e^{tX}\}.$$ 无论是有用的，它都必须存在于 0 的邻域中（拉动时刻），或者在$h_X(t)$1 的邻域（以消除离散概率）。在任何一种情况下，如果一个存在，另一个也必须存在：什么是$E\{e^{(\ln{u}\cdot X}\}$? 这显示了一个后门$h_X$： 评估$M_X(\ln{t})$. 一旦你完成了形式主义，一定要检查 0 和 1 的邻域。在这一点上我不清楚的是你将如何从中剥离 pmf。对于非负离散随机变量，$f_X(k) = h_X^{(k)}(1)$. 你整合了吗$h$达到负值$X$? 或者也许你没有或不能去掉 pmf 值$x<0$? 时间不早了，明天再考虑一下。