为了得到答案（尽管它可能不会给 whuber 的评论增加太多）：

我想找到确定指数值的最佳方法$\gamma$在以下回归中：$y = \beta x^\gamma$

观察到的$y$实际上不会$\beta x^\gamma$; 如果是的话就不需要统计了。

我们可能会说$E(y)=\beta x^\gamma$，例如，但这还不够。

为了解决这个问题，我们通常会考虑分布$y$给定$x$，并描述分布 - 或至少描述分布的参数，例如至少平均值和方差 - 与$x$.

特别是，我们将（至少）考虑误差项进入关系的方式，例如：

$y=\beta x^\gamma+\varepsilon\,$， 或者

$y=\beta x^\gamma\times\eta$

如果它是第一种形式，并且（零均值）误差项与$\text{Var}(\varepsilon)$常数，那么我们将使用普通的非线性最小二乘法来估计$\beta$和$\gamma$.

如果是第二种形式，并且误差项是独立的，$\eta$是积极的（这样$\log(\eta)$是零均值和恒定方差），那么我们可以取对数并估计$\beta$和$\gamma$使用线性回归。

另一方面，如果我们假设$\eta$是伽马分布的，那么我们可能会拟合带有对数链接的伽马家族 GLM。

在某些情况下，指定一个错误项根本没有意义。考虑以下情况$y\sim \text{Poisson}(\beta x^\gamma)$; 规范$E(y)=\beta x^\gamma$是正确的，但是要从那里处理事情，我们最好将模型保留为$y\sim \text{Poisson}(\beta x^\gamma)$. 同样，这将通过带有日志链接的 GLM 进行安装。

还有许多其他的可能性。

如果您确实需要非线性回归选项（加性误差、恒定方差），则可以nls在 R中使用。

这与 的工作方式略有不同lm，因为lm可以简单地为每个预测变量假设一个系数。相比之下，nls需要我们指定模型的形式包括参数。

这是一个例子（数据来自 R。它不一定适合这个模型）。

carsfit=nls(dist~beta*speed^gamma,data=cars,start=list(beta=exp(-.73),gamma=1.6))

这些start值来自对 y 和 x 变量的对数的 OLS 回归。

 summary(carsfit)

Formula: dist ~ beta * speed^gamma

Parameters:
      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
beta    0.5897     0.3357   1.757   0.0853 .  
gamma   1.5493     0.1920   8.068 1.74e-10 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15.06 on 48 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 3 
Achieved convergence tolerance: 4.979e-07