我有一个随机过程（Ornstein-Uhlenbeck）定义为：

$X(t) = e^{-at}(\int_0^t e^{a \tau} dW(\tau) + X_0)$

在哪里$W(t)$是维纳过程，并且$X_0$是我的过程的初始值。

我想推导出协方差函数，这显然可以在网上很容易地找到，但是我发现的推导跳过了很多步骤，没有太多解释。

假如说$s < t$然后经过几个步骤，我得到：

$EX(t)X(s) = e^{-a(t+s)} E[\int_0^s e^{a\tau}dW(\tau) \int_0^s e^{a\sigma}dW(\sigma) + X_0^2]$

在这一点上，我想我可以结合积分，然后期望只是$dW(\tau)dW(\sigma)$因为其余的都是非随机的，积分只是一个无限的和。这样做可以让我：

$EX(t)X(s) = e^{-a(t+s)} (\int_0^s \int_0^s e^{a(\tau+\sigma)} E[dW(\tau) dW(\sigma)] + EX_0^2)$

从这一点来看，我认为我可以使用这样一个事实，即对于 Wiener 过程，我们有$EdW(t)dW(s)$是$0$如果$t \neq s$并且等于$dt$如果$t=s$. 然后，这应该简化为可以轻松解决的单个积分。

这种思路正确吗？或者有什么我想念的。

编辑： 按照我上面的描述完成它，我最终得到：

$EX(t)X(s) = \frac{e^{-a(t+s)}}{2a}(e^{2as} -1 + 2a EX_0^2)$