机器算法验证 - 当 bin 大小很重要时，将高斯拟合到直方图 - 吾爱随笔录

我想将高斯拟合到一些已分箱的实验数据（分箱是设备物理限制的结果）。重要的是，bin 大小足够重要，以至于在 bin 窗口中不能将高斯视为平坦的（见下图）。数据实际上是 3D 的，但让我们从 1D 示例开始。如何为拟合优度编写似然函数？

我的直觉是简单地考虑每个 bin 独立并将密度与 bin 窗口中的集成高斯密度进行比较：

\begin{aligned} p (D | Θ) & = \prod_{i}^{N} p (d_{i} | Θ) \\ = \prod_{i}^{N} f (d_{i} - \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} ϕ (x | μ, σ) d x) \end{aligned}

$\begin{align} p(D|\Theta) &= \prod_i^N p(d_i|\Theta) \\ &= \prod_i^N f\left(d_i - \int_{x_i}^{x_{i+1}}\phi(x|\mu,\sigma)dx\right) \end{align}$ 其中 N 是 bin 的数量，

d_{i}

$d_i$ 是 bin 的 bin 高度

i

$i$ ,

ϕ (x | μ, σ)

$\phi(x|\mu,\sigma)$ 是高斯 PDF，积分超过 bin 宽度。我的问题是：我应该用什么

f

$f$ ? 换言之，双方的协议如何

d_{i}

$d_i$ 和

ϕ

$\phi$ 分散式？

关键的附加问题：

对于更高的维度，这个似然函数如何变化？
高斯在有限 bin 大小上的积分计算起来非常昂贵。由于我的问题再次是 3D，我将不得不对数百万个 bin 进行多次数值积分。有更快的方法吗？

问题说明