机器算法验证 - 高斯/平方指数协方差的封闭形式 Karhunen-Loeve/PCA 展开 - 吾爱随笔录

高斯/平方指数协方差的封闭形式 Karhunen-Loeve/PCA 展开

机器算法验证主成分分析模拟随机过程高斯过程

2022-03-29 08:31:57

高斯或平方指数协方差为。它是高斯过程中常用的协方差函数。Karhunen-Loeve 展开是高斯过程的样本路径的正交分解。如果的高斯过程的样本路径，则其中特征函数确定的确定性函数，特征值是标准法线。 $k_{SE}(s,t) = \exp \left\{ -\frac{1}{2l} (s - t)^2 \right\}$ $g(t)$ $k(s,t)$ $g(t) = \sum_{i=1}^\infty \xi_i f_i (t)$ $f_i(t)$ $k$ $\xi_i$

我的问题是，是否存在对应于的封闭形式表达式？ $f_i$ $k_{SE}$

根据 [1]，的封闭形式表达式以指数协方差 ( )、带限平稳过程 (有限和三角函数）和布朗运动。 $f_i$ $k(s,t) = \exp \left\{ -|s - t| \right\}$

[1] Huang, SP 和 Quek, ST 和 Phoon, KK，用于模拟随机过程的截断 Karhunen-Loeve 展开的收敛研究，国际工程数值方法杂志（2001 年），http://dx.doi.org /10.1002/nme.255

2个回答

的解决方案的标准方法，然后尝试将其重新应用于您的案例。如果您无权访问 [1]，我可以在这里给出一个大纲。一般来说，你必须仔细区分 $k(s,t) = e^{-|s-t|}$

$\int k_{SE}(s,t)f_i(s)dt = \lambda_i f_i(s)$

关于并查看它是否简化为的 ODE 。您的 ODE 会更复杂，但应该是可解的（我自己还没有计算过！）。 $t$ $f_i$

[1] Ghanem, R. 和 Spanos, P. “随机有限元：光谱方法”，1991 年 Springer，第 29-33 页

高斯测度下 SE 核的特征函数可以使用 Hermite 多项式编写（参见下面的参考资料）。如果改为使用 Lebesgue 度量，则更复杂。

CE Rasmussen 和 CKI Williams，机器学习的高斯过程，麻省理工学院出版社，2006 年，ISBN 026218253X。http://www.gaussianprocess.org/gpml（第 115 页）
Zhu, H., Williams, CKI, Rohwer, RJ 和 Morciniec, M. (1998)。高斯回归和最优有限维线性模型。在 Bishop，CM，编辑，神经网络和机器学习。施普林格出版社，柏林。

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