为了在评论中添加@Cardinal 的答案，我认为有一些工作可以解决“声称 Kolmogorov-Smirnov 的零分布映射到另一个可以通过“双边投票定理”解决的格子路径问题和“是否有围绕所有这些的一般框架？两样本KS测试？”：

本文（预印本）涉及r 样本 Kolmogorov-Smirnov检验，它们通过使用经典反射原理的推广计算晶格路径来推导精确的零分布。在第 2 节中，我发现他们很好地阐述了在推导零假设时格路径计数如何发挥作用。

在引言中，本文还通过回顾Kiefer 1959和David 1958开始的想法，讨论了晶格路径计数和反射原理如何联系在一起。他们还简要讨论了如何将其视为 r-ballot 计票问题，参考Filaseta 1985。

它们为任意数量的样本的 KS 类型测试提供格路径计数框架。从论文中：

我们考虑检验样本是否来自相同的连续分布的问题。作为检验统计量，我们将使用循环差异 其中和 表示这些样本的经验分布函数。维空间中的晶格路径的零分布 ，即，步长由单位向量给出$r ≥ 2$$F(x)$$\delta_r (n) = \max [\delta_{1,2} > (n), \delta_{2,3} (n), . . . , \delta_{r−1,r} (n), \delta_{r,1} (n)],$$\delta_{ij} (n) = \sup_x [F_{n,i} (x) − F_{n,j} (x)]$$F_{n,i} (x), i = 1, 2, . . . , r$$\delta_r(n)$$r$$e_i , i = 1, 2, . . . , r$ . 通过一个简单的变换，我们证明对于某个正整数，事件可能发生的方式数量就是路径的数量，其属性为路径上的那里有不等式链。事实上，这些路径的枚举是组合学中一个经过充分研究的问题。反射原理再次发挥作用，因为我们必须计算仿射（因此是无限）外尔群的壁龛中的路径；有关该主题的技术背景的参考资料，请参阅Gessel 和 Zeilberger 1992， $k$$\{n\delta_r (n) < k\}$$X$$X_m$$x_{1,m} > x_{2,m} > . . . > > x_{r,m} > x_{1,m − rk}$Grabiner 2002和Krattenthaler 2007。

希望这是进一步调查 Kuiper 和 AD 统计数据的良好起点。