机器算法验证 - 我可以用一个总和的日志做一些聪明的事情吗？ - 吾爱随笔录

在我正在做的事情中，表达式出现，其中所有和所有。有没有办法很好地简化或重写它，希望在期望/中心时刻方面？

lim_{n \to \infty} \exp (- \frac{1}{n} \log (\prod_{i = 1}^{n} X_{i} + \prod_{i = 1}^{n} Y_{i}))

$\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(-\frac{1}{n}\log\left(\prod_{i=1}^{n}X_{i}+\prod_{i=1}^{n}Y_{i}\right)\right)$

X_{i}

$X_{i}$

i i d

$iid$

Y_{i}

$Y_{i}$

i i d

$iid$

例如，在另一个位置，表达式出现了，我可以利用 log 的性质和大数定律得到然后我代入为，并使用泰勒展开式，可以截断得到这是我希望可以用这个问题中列出的第一个表达式来完成的事情。

lim_{n \to \infty} \exp (- \frac{1}{n} \log (\prod_{i = 1}^{n} X_{i}))

$\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(-\frac{1}{n}\log\left(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\right)\right)$

\exp (E [\log (X)])

$\exp\left(E[\log(X)]\right)$

E [X] + δ

$E[X]+\delta$

X

$X$

\exp (- \frac{σ_{X}^{2}}{2 μ_{X}^{2}})

$\exp\left(-\frac{\sigma^2_{X}}{2\mu^{2}_{X}}\right)$