假设我们有 N 个独立且同分布的随机向量$X_1, X_2, ..., X_N$其中每个的大小为 p$\times$1. 样本协方差矩阵，这里表示为$S$, 计算为$(1/N)XX'$在哪里$X$现在是一个矩阵$X_i$作为列，$i = 1, 2, ..., N$.

众所周知，$S$，没有结构，无偏但有很多估计误差（病态）。此外，$S$当$p>=N$.

所以显而易见的想法是尝试通过缩小无偏协方差矩阵$S$朝向通常称为“收缩目标”的有偏差（方差较小）的结构化协方差。收缩公式可表示为：

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$(1-\alpha)S + \alpha F$

在哪里$\alpha$是收缩强度（介于 0 和 1 之间），并且$F$是收缩目标。在收缩中，最具挑战性的部分是如何（自动）计算收缩强度。因此，继 Ledoit 和 Wolf 在 2003 年的文章“改进股票收益协方差矩阵的估计以及在投资组合选择中的应用”之后，他们根据 Frobenius 距离在最小化某个损失函数后计算了自动最优收缩强度。

好，很好！我现在的问题来自这篇文章。在第 8 页，我想知道他们是如何计算的$[E(\alpha f_{ij} + (1 - \alpha)s_{ij} - \delta_{ij}]^2$. 好的，在文章中，他们使用单索引模型作为收缩目标$F$. 但事实上，让我们计算这个一般收缩目标的平方期望值。我只是想知道他们是如何计算这个平方期望的（在他们进行推导之前，我只是对第 8 页中的这个期望感兴趣$\alpha$)...

请任何帮助将非常非常感谢！