机器算法验证 - 对类高斯数据的约束拟合的置信区间 - 吾爱随笔录

我正在使用一种仪器的数据，该仪器预计会先验地产生高斯（通常）分布数据：

G = A \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{σ})

$\begin{equation} G = A\exp\left(-\dfrac{(x - \mu)^2}{\sigma} \right) \end{equation}$

数据通常是稀疏的，每个只有大约 2-3 个测量值。在这个问题中，我关注的是单个，但实际上，我们经常有分析物信号导致重叠然后同时拟合，如下所述。 $G$ $G$ $G$

为了使适合我们的测量，我们使用参考信号先验地和之外的所有参数。所以拟合减少到 $G$ $\mu$ $\sigma$ $A$

G = A G_{0}

$\begin{equation} G = AG_0 \end{equation}$

然后通过最小二乘法拟合以确定。 $A$

我的主要问题是：拟合）是什么？ $\sigma_A$ $A$

我最初的方法是估计作为拟合的RMSE。但由于 RMSE 本质上是残差的标准差，这似乎是高估了：我想要拟合参数的置信区间。 $\sigma_A$

在这种情况下，我可以安全地将以下教科书方程用于线性回归斜率的置信区间吗？（是预测变量，是预测变量的平均值，是拟合残差，1 个拟合变量消耗了 2 个自由度，残差总和为零） $x_i$ $\bar{x}$ $e_i$

σ_{A} = \frac{s_{e}}{Σ_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\frac{1}{n - 2} Σ_{i} e_{i}^{2}}{Σ_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\begin{equation} \sigma_A = \dfrac{s_e}{\Sigma _i (x_i - \bar{x})^2 } = \dfrac{\frac{1}{n- 2}\Sigma_i e_i^2}{\Sigma _i (x_i - \bar{x})^2 } \end{equation}$

我认为“是的”：我所做的只是在拟合线性参数之前我也认为“不”，因为我不确定在这个等式中的含义 - 它是否特定于线性回归？ $x$ $x_i - \bar{x}$

为了给你一个可视化，我的数据几乎和这些模拟数据一样糟糕（但通常信号包含更多的一两个数据点）：

仅适用于 2 个数据的高斯拟合

注意：我知道贝叶斯分析将是传递有关和信息的更好方法，但我现在无权更改分析软件。我需要限制自己对的估计。 $\mu$ $\sigma$ $\sigma_A$

编辑：另一个可能排除某些解决方案的注释：我正在分析数千个没有已知真实值的批量测量。