对数据的假设进行编码并不是贝叶斯模型中先验分布的作用。

先验不反映对数据的任何假设：它在数学上捕获分析师在观察数据之前对模型参数所做的任何假设。后验分布反映了先前和观察到的数据。

从你的问题中引用这句话：

这表示$x^Tw$均值为零，所以$f(x)$为零。为什么你想要一个均值为零的模型？你想预测$y$！

除非我们假设数据$y$平均值为零，否则，这对我来说没有意义。

那$f(x)=0$仅使用先验分布为真$w$. 如果将后验分布用于$w$.

零均值先验是否准确地编码了您的假设是另一回事；但它确实捕获的任何假设都不适用于数据。

您可以使用任何您想要的先验。它不一定是正常的，它可以有不同的平均值，或者它可以没有平均值（柯西）......这是你在看到数据之前做出的主观选择。

回想一下，后验概率是先验概率

$$\underbrace{P(\theta|D)}_\text{posterior} \propto \underbrace{P(D|\theta)}_\text{likelihood} \times \underbrace{P(\theta)}_\text{prior}$$

正如其他人所提到的，prior 向您展示了对您的模型的初始、数据外、信念，然后使用观察到的数据进行更新。因此，您可以将之前的平均值设置为零，并且如果观察到的数据提供了足够的信息以便将其移动到另一个值，则后验将不同于零。这个想法实际上经常用于目的，例如 Spiegelhalter (2004) 描述为不同的先验可能有助于针对数据测试不同的假设并促进决策，其中零均值先验可以用作“怀疑”先验。

由于一张图片（有时）值一千字，您可以自己检查并运行JavaScript 库bayes.js中的一个示例，用于 MCMC 采样。该示例说明了用于估计的简单模型$\mu$和$\sigma$对于正态分布（即，如果您更喜欢这样考虑，则仅截距回归），其中模型定义如下：

$$x_i \sim \mathrm{Normal}(\mu, \sigma)$$ $$\mu \sim \mathrm{Normal}(0, 100)$$ $$\sigma \sim \mathrm{Uniform}(0, 100)$$

您可以运行该示例来说服自己不需要太多的 MCMC 迭代来使算法收敛并且使后验均值从先前的零更新到大约$185$. 先验均值不是我们想要的后验均值，而是我们在查看数据之前对我们的模型的看法，所以通常这是一个合理的选择。

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Spiegelhalter，DJ（2004 年）。将贝叶斯思想纳入医疗保健评估。 统计科学， 156-174。

@ user13985 IDK 你所说的没有预测是什么意思。在您的特定模型中，如果您使用正态先验，您可以得出后验分布。

如果$\mathbf{y}\sim \text{N}(\mathbf{X}\beta,\mathbf{R})$和$\beta \sim \text{N}(\mathbf{a},\mathbf{B})$那么后面是$\beta|\mathbf{y} \sim \text{N}(\mu, \Sigma)$在哪里

$$\mu = \Sigma\left(\mathbf{X}^\intercal\mathbf{R}^{-1}\mathbf{y} + \mathbf{B}^{-1}\mathbf{a}\right)\quad\text{and}\quad\Sigma = \left(\mathbf{X}^\intercal\mathbf{R}^{-1}\mathbf{X} + \mathbf{B}^{-1}\right)^{-1}$$

可以看到后验均值是观察数据的组合$y$和先验均值$a$. 使用零均值更加强调数据$y$，使用非零均值移动后验均值。所以我不明白你所说的“破坏模型”是什么意思。先验基本上是您对变量的先验信念，如果您对变量一无所知，请使用零均值先验让数据自己说话。

也许有助于激发这一点的一种方法是选择均值为 0 的正态先验等效于岭回归（即在您的估计系数上添加 L2 惩罚）。岭回归已被证明有助于回归，因此添加均值为 0 的正态先验也应该有帮助。