如果我们有一个变量$X\sim U(0,1)$并乘以$a$， 然后$aX\sim U(0,a)$.

假设我们正在处理独立连续均匀$(0,a)$和$(0,b)$分别（与$a<b$)

（这个假设不是限制性的，因为我们可以很容易地从中获得一般情况。）

那么联合密度为$\frac{1}{ab} I_{(0,a)}\times I_{(0,b)}$.

由于二元密度在非零的地方是恒定的，我们可以通过标记非零区域的边界来“从上方看”来绘制它。

...因此通过基本几何论证（沿着（i）的线认识到密度随着总和线性增加，$z$从$0$至$a$, 保持不变直到$b$然后线性减小到$a+b$, 和 (ii) 中间部分的高度必须是$1/b$得到单位面积，然后（iii）三个非零部分的方程立即通过检查），卷积的密度是

$f(z) = \begin{cases} 0 & z\leq 0\\ z/ab & 0<z<a \\ 1/b & a\leq z<b \\ (a+b-z)/ab & b\leq z<a+b \\ 0 & z\geq a+b \end{cases}$

[虽然正式的整合显然会起作用，但至少对我而言，按照上述推理进行操作会更快一些，其中一个人只需绘制密度，然后立即将结果写下来。]

一般情况：

想象一下，我们有独立的$U(c,a+c)$和$U(d,d+b)$. 那么上面的密度将简单地右移$c+d$.

定义$Y'=aY$和$X'=bX$，找到它们的分布，你又回到了你知道如何解决的问题：$Y'+X'=Z$（卷积）。