机器算法验证 - 用多项式拟合周期性数据有什么问题？ - 吾爱随笔录

用多项式拟合周期性数据有什么问题？

机器算法验证回归时间序列预测模型曲线拟合季节性

2022-04-14 19:35:14

假设我们有玩具每日温带数据，我们想要拟合一个模型。

一个合理的做法是用傅里叶基拟合周期性模型

f (x) = β_{0} + β_{1} \cos (2 π x / 24) + β_{2} \sin (2 π x / 24)

$f(x)=\beta_0+\beta_1 \cos(2\pi x/24)+\beta_2 \sin(2\pi x/24)$

所以数据矩阵的傅里叶基展开是 $\mathbf X$

[\begin{matrix} 1 & \cos 0 & \sin 0 \\ 1 & \cos \frac{π}{4} & \sin \frac{π}{4} \\ \dots & \dots & \dots \\ 1 & \cos \frac{7 π}{4} & \sin \frac{7 π}{4} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1&\cos 0 & \sin 0 \\ 1&\cos \frac \pi 4 & \sin \frac \pi 4 \\ \cdots & \cdots & \cdots\\ 1&\cos \frac {7\pi} 4 &\sin \frac {7\pi} 4 \end{bmatrix}$

另一方面，假设我不知道傅里叶展开，只知道多项式拟合。所以我用三阶多项式拟合数据，其中

f (x) = β_{0} + β_{1} x + β_{2} x^{2} + β_{3} x^{3}

$f(x)=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2 +\beta_3 x^3$

数据矩阵的多项式基展开是（出于演示目的，我没有使用正交多项式，这在现实世界的问题中是病态的。） $\mathbf X$

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3^{2} & 3^{3} \\ \dots \\ 1 & 21 & 21^{2} & 21^{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1&\ 0 & 0 & 0 \\ 1& 3 & 3^2 & 3^3\\ & \cdots\\ 1&\ 21 &21^2 & 21^3\end{bmatrix}$

这两种拟合如下所示，它们是“相似的”。我的问题是，多项式拟合周期性数据有什么问题？在这种情况下，我们没有外推，时间应始终为 $[0,23]$

    d = data.frame(t=c(0,3,6,9,12,15,18,21),
    temp=c(-2.2,-2.8,-6.1,-3.9,0,1.1,-0.6,-1.1))
    X=cbind(1,cos(2*pi*d$t/24),sin(2*pi*d$t/24))
    coeff = solve(t(X) %*% X, t(X) %*% d$temp)
    X2=cbind(1,d$t, d$t^2, d$t^3)
    coeff_2 = solve(t(X2) %*% X2, t(X2) %*% d$temp)
    plot(d$t,d$temp,type='b')

    d_new = seq(0,24,0.1)
    X=cbind(1,cos(2*pi*d_new/24),sin(2*pi*d_new/24))
    X2=cbind(1,d_new, d_new^2, d_new^3)

    lines(d_new,X %*% coeff, type='l',col='red')
    lines(d_new,X2 %*% coeff_2, type='l', col='blue')

4个回答

仅在您提供的数据集中，在傅立叶基础上使用多项式的唯一真正缺点是和处的不连续性问题。正如您所说，如果您真的愿意，您可以添加约束来解决这个问题。 $T = 0$ $T = 24$

但更典型的是，对于这类数据，我们观察到几个周期。在这种情况下，它将是数据的天数。关键是要利用周一下午 3 点与周二下午 3 点具有非常相似的特性这一事实。这种关系根本不会出现在“香草”多项式展开式中，因此您根本不会从不同的周期中借用进行估计。出于类似的原因，你几乎没有希望得到一个好的推断，即使只有 1 天，即使从一个非常基本的傅立叶展开，你可以说“我想明天下午 3 点，它可能和通常是在下午 3 点”。

错误在于，要准确捕获最简单的周期性过程，例如单色正弦波，您需要无限数量的多项式项。看泰勒展开式。

直觉上，你想要拟合（在某种意义上）看起来像 你的底层过程的函数。这样，您将拥有最少数量的参数来估计。假设您有一个圆孔，需要在其中插入软木塞。如果你的软木塞是方形的，那么它比圆形的软木塞更难适应。

和处的不连续性是问题。实际上，该图具有误导性，因为它仅绘制到。如果我们将绘图代码更改为： $T=0$ $T=24$ $T$ $21$

plot(d$t,d$temp,type='b',xlim=c(0,24),ylim=c(-7.5,1.5))

我们可以看到三阶多项式不是一个很好的拟合：

在时间，温度为，但第二天在时间温度为！： $0$ $-1.7$ $0$ $-7.04$

此外，将函数输入设为任意实数是非常自然的，而不是仅限于 0 到 23。 $T$

例如，当表示第二天 1:00，表示前一天 23:00。使用多项式基础，我们需要在 0 到 23 内生成输出。 $T=25$ $T=-1$

但是随着傅里叶基的扩展，一切都是内置的。

如果您使用样条拟合有限时间间隔的数据，比如一天，这不会考虑前后间隔的值。即使用多项式拟合非周期性数据，您也会发现这种效果：拟合数据对最后一个和第一个跨度间隔“反应过度”。一种平滑的方法是将要拟合的区间数据重复三次，使多项式拟合长区间，并仅将中间区间的拟合数据用作“更好”的拟合数据。但可以肯定的是，如果您知道所考虑的效果是周期性的，那么使用周期性作为“基函数”是最好的方法。系数数量有限的多项式无法拟合周期性信号。正如 Aksakal 已经说过的

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