因为数据类别之间的最优分离超平面

$$\begin{equation} D(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T\mathbf{x} + b = c \quad \quad -1 < c < 1, \end{equation}$$

通过最小化目标函数找到

$$\begin{equation} \begin{split} Q(\mathbf{w})&=\frac{1}{2} ||\mathbf{w}||^2\\ \mathrm{w.r.t } & \quad y_i(\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b) \geq 1,\\ \end{split} \end{equation}$$

它在不等式约束中是线性的，但由于平方项是二次目标函数。欧几里得范数的平方$||\mathbf{w}||$使优化问题“二次规划”。具有不等式约束的二次目标函数会产生唯一的函数值，但解是不唯一的。

优化理论中也有一个定义：

定义：目标函数、不等式和等式约束为线性的优化问题称为线性规划。但是，如果目标函数是二次的，而约束都是线性的，则优化问题称为二次规划。

为了找到一个最优的分离超平面，权向量的范数$||\overline{w}||$应最小化，受约束$y_i(\overline{w} \cdot \varphi(x_i) + b) ≥ 1 − \xi_i$,$\xi_i \geqslant 0, i=1,\dots, l$（见这里）。

虽然在技术上可以最小化$\mathcal{l}^1$-规范$||\overline{w}|| = \sum_i^n |w_i|$（即解决线性规划问题）而不是$\mathcal{l}^2$范数（二次问题），$l^1$- 方法有许多缺点$l^2$：

(a) 解决方案$l^1$-范数最小化问题缺乏稳定性，

(b) 解决方案不是唯一的，

(c) 很难提供计算有效的方法$l^1$-最小化，与$l^2$-最小化。

另一方面，虽然解决方案$l^1$- 最小化问题对异常值比对应的更稳健$l^2$问题，这对于 SVM 并没有特别重要的作用，因为异常值成为支持向量的机会非常小。

这与 L1 规范无关。两者都是欧几里得范数。转换为 QP 是由于实际原因，因此梯度在原点处是连续的。见https://math.stackexchange.com/a/439168/532462