机器算法验证 - 为什么中心极限定理的这个定义不正确？ - 吾爱随笔录

为什么中心极限定理的这个定义不正确？

机器算法验证分布中心极限定理

2022-03-24 23:42:50

我从 Degroot 的 Probability and Statistics （也来自Wikipedia）一书中找到了中心极限定理的以下定义。它只是将 CLT 声明为其中是总体均值，是总体标准差，。

lim_{n \to \infty} Pr [\frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \leq z] = Φ (z), \dots (1)

$\lim_{n\to\infty} \Pr\bigg[\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \le z\bigg] = \Phi(z), \quad \cdots (1)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} X_{i} = \frac{1}{n} (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n})

$\bar{X}_n= \frac{1}{n}\sum_{i=i}^{n}X_i = \frac{1}{n} \left( X_1+X_2+ \cdots+X_n \right)$

我担心的是如果 $n \to \infty$ 那么为什么 $\bar{X}$ 会遵循非退化分布？大数定律表明

Pr (lim_{n \to \infty} {\bar{X}}_{n} = μ) = 1

$\Pr\!\left( \lim_{n\to\infty}\bar{X}_n = \mu \right) = 1$ 如果这是真的，那么等式 1 中的分子和分母都将收敛到零，因为

n \to \infty

$n \to \infty$ 和

\bar{X}

$\bar{X}$ 将成为一个常数，而不是遵循特定的分布。

2个回答

$\bar{X}$ 被定义为，你的定义错过了一个平均值，求和应该从开始。 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ $i=1$
$\mu$ 是总体平均值，而不是样本平均值（是）。同样，是总体标准差。 $\bar{X}$ $\sigma$
LLN 的关键区别在于和之间的差异（实际上被 LLN 消除了）由缩放，这是发散的。所以将 (1) 重写为，事实证明（这里适当的证明太长了）这两个东西的乘积，其中一个倾向于到 0 而另一个到无穷大（在适当的假设下）仍然具有渐近分布。 $\bar{X}$ $\mu$ $\sqrt{n}$ $\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)/\sigma$

请注意，在您的表达式 \lim_{n\to\infty} \Pr\bigg[\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt n参考。最后一部分收敛到什么并不重要 - 你正在使用不同的表达式。看来你正在尝试做类似但你不能这样做，就像在普通微积分中你不能做一些类似实际上，确实如此

lim_{n \to \infty} Pr [\frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \leq z]

$\lim_{n\to\infty} \Pr\bigg[\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \le z\bigg]$

lim_{n \to \infty} {\bar{X}}_{n}

$\lim_{n\to\infty}\bar{X}_n$

lim_{n \to \infty} Pr [\frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \leq z] = Pr [\frac{lim_{n \to \infty} {\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \leq z] = Pr [\frac{μ - μ}{σ / \sqrt{n}} \leq z] = P r [0 \leq z]

$\lim_{n\to\infty} \Pr\bigg[\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \le z\bigg] = \Pr\bigg[\frac{\lim_{n\to\infty}\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \le z\bigg] = \Pr\bigg[\frac{\mu-\mu}{\sigma/\sqrt n} \le z\bigg] = \mathrm{Pr}[0\le z]$

lim_{t \to \infty} (\frac{1}{t} \cdot t) = (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}) t = 0.

$\lim_{t\to\infty}\left(\frac1t\cdot t\right)=\left(\lim_{t\to\infty}\frac1t\right)t=0.$

n

$n$ 增加，差异变小，但你也乘以，它变大并抵消了这一点。综合效果是随着的增加，变得更接近标准正态分布。

{\bar{X}}_{n} - μ

$\bar{X}_n-\mu$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

\frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}}

$\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}$

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