我试图看看多元 t 分布的线性组合是否会给出多元 t 分布。

一般来说，不，情况并非如此，即使是单变量 t（例如参见此处和此处；请注意，两个 t 随机变量的差异是两个 t 随机变量的总和，但第二个分量具有意味着原始随机变量乘以-1）

在一些非常特殊的情况下，是的。考虑：

(i) 无限自由度的极限情况，多元法线的线性组合是多元法线；

(ii) 如果分量 t 变量完全依赖，它们的总和将是多变量 t；

(iii) 在单变量情况下，独立 Cauchy 随机变量的总和将为 Cauchy。我还没有检查过，但这很可能比独立 Cauchy 的向量（以及上面提到的完全依赖的情况）更多地扩展到多元案例的子集；

(iv) 在非常大数量的组件的限制中，没有一个组件在方差方面占主导地位（也就是说，每个组件的系数乘以该组件的方差不会变得太大），您可能能够调用中心极限定理的一个版本。

在组件的权重相等（有效地将其转换为比例总和）并且您正在处理标准 t （而不是具有一般均值和方差的那些）的情况下，本文提供了一些信息。将其扩展到一般平均值的情况很简单，但它不处理任意尺度的一般情况，或等效的任意线性组合。

确实，多元- $t$向量及其线性组合的分量是$t$ -分布的。但是任意$t$变量的线性组合不一定是$t$分布的。事实上，独立的$t_\nu$变量的线性组合不是$t$分布的。

Joram Soch 的评论以正确的结果开头，但随后通过声称两个独立的 t 分布向量具有联合 t 分布而犯了一个微妙的错误。为了说明情况并非如此，让$X$和$Y$是标量随机变量，独立且$t_\nu$分布。那么它们的联合密度是它们的密度的乘积，因此与$((1+x^2/\nu)(1+y^2/\nu))^{-(\nu+1)/2}成正比= (1+x^2/\nu+y^2/\nu + x^2y^2/\nu^2)^{-(\nu+1)/2}$。但括号中的项不是$x$和$y$的二次形式，因此不是多元$t$ -密度。

这个例子还证明了多元变量- $t$变量的分量总是相互依赖的。

请查看 Walker、Glenn A. 和 John G. Saw。“t 变量的线性组合的分布。” 美国统计协会杂志 73.364 (1978): 876-878。

生成的 PDF 被描述为 student-t 分布的加权和，论文展示了如何获得权重。作者从观察奇自由度开始，student-t rv 的特征函数可以用封闭形式表示，即与第三类修正贝塞尔函数成正比。在我看来，该论文提出了所有奇数 t 分布情况的解决方案，并且不应该涉及偶数自由度。

多元 T 分布及其应用的 P15（Kotz 和 Nadarajah）说：“如果 X 具有自由度为 v、平均向量 p 和相关矩阵 R 的 p 变量 t 分布，那么对于任何非奇异标量矩阵 C 和任何a, CX + a 具有自由度为 v、均值向量 Cp+a 和相关矩阵 CRC' 的 p 变量 t 分布。这个结果在应用中很重要，并且类似于多元正态分布的相应结果。 "

编辑：

在单变量语言中，例如，考虑$aT_1+bT_2$，其中$T_i$是 t 分布，均值$m_1,m_2$，尺度（与方差相同的顺序）$S_1,S_2$并具有相同的自由度。然后通过将$T_1$和$T_2$堆叠成一个向量来定义$T:=[T1, T2]'$这是一个协方差为零的二元 T 分布。然后$aT_1+bT_2=[a, b]T$。应用上述结论，$aT_1+bT_2$是具有相同自由度的单变量 t 分布，均值为$am_1+bm_2$，尺度为$a^2S_1+b^2S_2$。

支持该理论的 R 模拟是：

require('mas3321')
n=10000
sample=c()
mean1=.6
mean2=1.2
scale1=.5
scale2=1
p1=10
p2=20
samples_combt=p1*rgt(n, 10, mean1, scale1)+p2*rgt(n, 10,mean2 , scale2)
hist(samples_combt,probability = T)    
mean_comb= p1*mean1+p2*mean2
scale_comb=p1^2*scale1+p2^2*scale2
curve(dgt(x, 10,mean_comb, scale_comb), add=TRUE)