如果您使用 k-means 算法对学生进行聚类，它将最小化每个组内的平方和。该算法通过惩罚每个组中的技能变化来找到组。技能相对于集群平均值的差异越大，惩罚越大。因此，这应该适合您的需求。您可以在 R 中使用 kmeans() 命令轻松完成此操作。但是，此算法不强制执行相等的组大小。此处讨论了此限制的解决方案。

寻找最优类别分配的问题等价于最小化以下目标函数：

$$\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{20} \left\| \mathbf x_{ij} - \boldsymbol\mu_i \right\|^2$$

在哪里：

$$\mathbf x_{ij} = \text{vector of test scores of the } j^{th} \text{ student in the } i^{th} \text{ class}\\ \boldsymbol\mu_{i} = \text{mean of the test score vectors of the students in the } i^{th} \text{ class}$$

有很多方法可以最小化这样的函数，但在诸如此类的小问题中我通常更喜欢模拟退火。模拟退火的工作原理是采用一些最初提出的解决方案，并迭代地对其进行调整（首先是大调整，然后是逐渐较小的调整），直到最终得出一个通常接近最优的最终答案。

除了目标函数之外，模拟退火还需要了解什么构成了“调整”（更正式地说，是什么构成了一对相邻状态）。在这种情况下，这样的调整将对应于将两个随机班级中的两个随机学生相互交换。

注意：我提供的目标函数相当于对所有类内成对距离求和，如k-means wiki的描述部分所述。

你认为这会是班级的最佳作业吗？我会亲自拆分组，以便我在不同组的每个类别中都名列前茅。学生可以利用他们的技能并以这种方式提高。

我可以将问题描述为

$\arg\max\limits_{x \in Cat} Score_x \bigcup \arg\min\limits_{x \in Cat} Score_x$

您在没有更换的情况下进行采样。