机器算法验证 - 当从均匀 [0,1] 分布中提取时单调递增的 iid 序列的预期长度是多少？ - 吾爱随笔录

机器算法验证可能性分布随机变量密度函数不可缺少的

2022-04-08 03:21:41

总体问题：假设 X $_i$ 〜iid统一（0,1）。从分布中提取单调递增的序列的预期长度是多少？

解决方案的骨架是

\sum_{n} n * p r o b (l e n g t h = n) = \sum_{n} 1 / n! = e

$\sum_n n*prob(length=n) = \sum_n 1/n! = e$

如何计算概率（长度 = 2）？

Prob(length = 2) 可以表述为：假设我们正在从均匀 [0,1] 分布中绘制 iid 随机变量。前 3 次抽到 X1、X2、X3 的概率是多少

X 1 < X 2 a n d X 3 < X 2 ?

$X1 < X2 \space and \space X3<X2 \space ?$

还是 prob(length = 2) 的意思很简单

P r o b (X 1 < X 2) ?

$Prob(X1<X2)?$ 我正在寻找使用积分的解决方案...

2个回答

首先，我们用概率的符号来表述这个问题。我们正在寻找 $p(x_1<x_2, x_3<x_2)$ . 现在我们可以根据条件概率的规则简单地将其扩展为：

p (x_{1} < x_{2}, x_{3} < x_{2}) = \int_{0}^{1} p (x_{1} < x_{2}, x_{3} < x_{2} | x_{2}) p (x_{2}) d x_{2}

$p(x_1<x_2, x_3<x_2) = \int_0^1 p(x_1<x_2, x_3<x_2|x_2)p(x_2) dx_2$

我们还知道，鉴于我们使用的是 uniform[0,1] 变量，被积函数中的第一项可以简单地写成

p (x_{1} < x_{2}, x_{3} < x_{2} | x_{2}) = x_{2}^{2}

$p(x_1<x_2, x_3<x_2|x_2) = x_2^2$

我们也知道 $p(x_2) = 1$ 在我们关心的区间。

因此我们有：

p (x_{1} < x_{2}, x_{3} < x_{2}) = {\int_{0}^{1} x_{2}^{2} d x_{2} = \frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{1} = 1 / 3

$p(x_1<x_2, x_3<x_2) = \left. \int_0^1 x_2^2 dx_2 = \frac{x^3}{3}\right|_0^1 = 1/3$

只是为了仔细检查：

> set.seed(4)
> x <- runif(300000)
> x <- matrix(x, ncol=3)
> sum(x[,1] < x[,2] & x[,3] < x[,2])/nrow(x)
[1] 0.33189

让 $F$ 是联合多元分布。你寻求，根据定义，

Pr (X_{1} < X_{2}; X_{3} < X_{2}) = ∭_{x_{1} < x_{2}; x_{3} < x_{2}} d F (x_{1}, x_{2}, x_{3}) .

$\Pr(X_1\lt X_2; X_3 \lt X_2) = \iiint_{x_1\lt x_2; x_3\lt x_2}dF(x_1,x_2,x_3).$

要计算它，请注意

变量 iid 是可交换的；
事件转换为通过循环置换转换为通过其逆；和 $\mathcal{E}_2 = X_1 \lt X_2; X_3 \lt X_2$ $\mathcal{E}_1 = X_3 \lt X_1; X_2 \lt X_1$ $3\to2\to1\to3$ $\mathcal{E}_3 = X_2 \lt X_3; X_1 \lt X_3$ $1\to2\to3\to1$
除了出现平局的一组零概率（相对于），是的整体. $F$ $\mathcal{E}_1\cup \mathcal{E}_2\cup\mathcal{E}_3$ $\mathbb{R}^3$

从和可以立即看出，所有三个事件都有相同的机会，然后和总概率定律意味着这些机会总和为；积分必须计算为。 $(1)$ $(2)$ $(3)$ $1$ $1/3$

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