根据 Casella 和 Berger 的统计推断，

定义 1.1.1特定实验的所有可能结果的$S$

因此，样本空间可以被认为是人们可以从特定实验中获得的所有可能的观察结果。抛硬币的样本空间是一个集合；滚动六面骰子的样本空间是一组。$\{H, T\}$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

定义 1.4.1 随机变量是从样本空间 到实数的函数$S$

所以随机变量可以被认为是一个函数。用于随机变量的符号是大写字母。因此，如果我们有一个将样本空间映射到实数的随机变量，我们就有

$$X: S \to \mathbb{R}$$

没有人真正以这种方式表达随机变量。相反，它通常表示为。$X$

如果该随机变量是来自随机实验的一组可能值，则 所以随机变量是一个恒等函数。$X$

$$X: S \to S$$

样本空间是随机变量可以取的一组值。

您可以将随机变量视为未打开的盒子。这个未打开的盒子以一定的概率包含样本空间的每个成员。

在您的掷骰子示例中，样本空间为 {1,2,3,4,5,6}。表示掷骰子的随机变量有 1/6 的概率分别取这 6 个值。

亚马逊人的回答是错误的。样本空间不是随机变量可以采用的一组值。样本空间是定义随机变量的域。Amazonian 给出的例子是一个随机变量的例子，它的值恰好是样本空间中的元素。

随机变量是一个函数，它为样本空间中的每个元素分配一个值。没有什么能阻止您在样本空间 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 上定义随机变量 X，其中 X = 10 * s for s in S. 那么 X 可以取的值是 { 10、20、30、40、50、60}。

当样本空间由

• 完全是实数（如你的例子），

样本空间和随机变量没有区别。

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在其他情况下会出现差异，因为

           样本空间可以是一组任意元素，例如。$\{\color{red} {\text{red}}, \color{green} {\text{green}}, \color{blue} {\text{blue}}\}$

由于可能的结果如此自由，因此很难工作。所以有人发明了不使用任意元素，而仅使用实数。

要达到它，首先要将这些元素映射到实数，例如

$$\begin{aligned} \color{red} {\text{red }} &\mapsto 6.72\\ \color{green} {\text{green}} &\mapsto -2\\ \color{blue} {\text{blue}} &\mapsto 19.5 \end{aligned}$$

这种映射称为随机变量。

所以现在有区别了，因为

• 样本空间是\，而$\{\color{red} {\text{red}}, \color{green} {\text{green}}, \color{blue} {\text{blue}}\}$
• 随机变量是映射，通常自由解释为集合。$\{\color{red} {6.72}, \color{green} {-2}, \color{blue} {19.5}\}$

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笔记：

为什么映射如此重要？

因为我们摆脱了如何操作任意事物的问题——在选择了这样的映射后，我们可以用数字进行计算。