解决这个问题的一种简单有效的方法是使用著名的Box-Mueller 变换的变体，它将正态分布与球上的均匀分布联系起来。如果我们生成一个由 IID 标准正态随机变量和一个随机变量（独立于第一个随机向量），那么我们可以将统一的兴趣点构造为：$\mathbf{Z} = (Z_1,...,Z_m)$$U \sim \text{U}(0,1)$

在下面的代码中，我们创建了一个实现此方法的R函数。runifball该功能允许用户生成n随机矢量，这些矢量是球上具有任意中心、半径和尺寸的点。

runifball <- function(n, centre = 0, center = centre, radius = 1) {
  
  #Check inputs
  if (!missing(centre) && !missing(center)) {
  if (sum((centre - center)^2) < 1e-15) { 
                 warning("specify 'centre' or 'center' but not both") } else {
                    stop("Error: specify 'centre' or 'center' but not both") } }
  if (radius < 0) { stop("Error: radius must be non-negative") }
  
  #Create output matrix
  m   <- length(center)
  OUT <- matrix(0, nrow = m, ncol = n)
  rownames(OUT) <- sprintf("x[%s]", 1:m)
  
  #Generate uniform values on circle
  UU  <- runif(n, min = 0, max = radius)
  ZZ  <- matrix(rnorm(n*m), nrow = m, ncol = n)
  for (i in 1:n) {
    OUT[, i] <- center + radius*UU[i]^(1/m)*ZZ[, i]/sqrt(sum(ZZ[, i]^2)) }
  
  OUT }

这是一个使用此函数在二维磁盘上均匀生成随机点的示例。该图显示，这些点在指定球上确实是均匀的。

#Generate points uniformly on a disk
set.seed(1)
n      <- 10^5
CENTRE <- c(5, 3)
RADIUS <- 3
UNIF   <- runifball(n, centre = CENTRE, radius = RADIUS)

#Plot the points
plot(UNIF, 
     col = rgb(0, 0, 0, 0.05), pch = 16, asp = 1,
     main = 'Points distributed uniformly over a circle', xlab = 'x', ylab = 'y')
points(x = CENTRE[1], y = CENTRE[2], col = 'red', pch = 16)

最简单且最不容易出错的方法 - 对于低维（见下文！） - 仍然是拒绝采样维超立方体中挑选均匀分布的点，然后拒绝所有落在球外的点。$m$

runifball <- function(n, centre = 0, center = centre, radius = 1) {
  
  #Check inputs
  if (!missing(centre) && !missing(center)) {
  if (sum((centre - center)^2) < 1e-15) { 
                 warning("specify 'centre' or 'center' but not both") } else {
                    stop("Error: specify 'centre' or 'center' but not both") } }
  if (radius < 0) { stop("Error: radius must be non-negative") }

  n_to_generate <- 2^length(center)*gamma(length(center)/2+1)*n/pi^(length(center)/2) # see below
  
  original_sample_around_origin <- 
      matrix(replicate(length(center),runif(n_to_generate ,-radius,radius)),nrow=n_to_generate )
  index_to_keep <- rowSums(original_sample_around_origin^2)<radius^2
  original_sample_around_origin[index_to_keep,]+
      matrix(center,nrow=sum(index_to_keep),ncol=length(center),byrow=TRUE)
}

这是维磁盘的应用程序：$m=2$

#Generate points uniformly on a disk
set.seed(1)
n      <- 10^5
CENTRE <- c(5, 3)
RADIUS <- 3
UNIF   <- runifball(n, centre = CENTRE, radius = RADIUS)

#Plot the points
plot(UNIF, 
     col = rgb(0, 0, 0, 0.05), pch = 16, asp = 1,
     main = 'Points distributed uniformly over a circle', xlab = 'x', ylab = 'y')
points(x = CENTRE[1], y = CENTRE[2], col = 'red', pch = 16)

再一次，我们将需要最初生成更多的点，因为我们会拒绝一些。具体来说，我们希望保持，即维球到包围它维超立方体的体积。所以我们可以从生成开始，期望得到个点（这是上面代码采用的方法），或者只是开始生成直到我们保留。$\frac{\pi^\frac{m}{2}}{2^m\Gamma(\frac{m}{2}+1)}$$m$$m$$\frac{2^m\Gamma(\frac{m}{2}+1)n}{\pi^\frac{m}{2}}$$n$$n$

在任何一种情况下，我们最初需要在超立方体中绘制的点数，以便（期望）最终在球中得到一个点，随着维数的增加而迅速增加：$m$

（注意对数垂直轴！）

m <- 2:20
plot(m,2^m*gamma(m/2+1)/pi^(m/2),type="o",pch=19,log="y",
    xlab="Dimension (m)")

这只是一个事实的结果，对于大，维超立方体的大部分体积在角落，而不是在中心（球所在的位置）。所以拒绝抽样可能只是低维度的一种选择。$m$$m$