考虑的集合，称之为，其中。您寻求概率。任何导致的表达式都会产生完全相同的概率，而不管其减速。如果是单调（严格）递增函数，则直接意味着，反之亦然，即如果，则。$x$$S$$x<a$$P(S)$$S$$b$$f(x)$$x<a$$f(x)<f(a)$$f(x)<f(a)$$x<a$

如果严格增加，那么您有：$f$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \{ X < a \} &= \{ \omega \in \Omega | X(\omega) < a \} \\[6pt] &= \{ \omega \in \Omega | f(X(\omega)) < f(a) \} \\[6pt] &= \{ \omega \in \Omega | f(X)(\omega) < f(a) \} \\[6pt] &= \{ f(X) < f(a) \}, \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

这意味着。如果只是非递减，那么您无法得出此结果，但您可以得出具有非严格不等式的类似结果。$\mathbb{P}(X<a) = \mathbb{P}(f(X)<f(a))$$f$

不。
假设您调用单调递增的函数是非递减的（对于所有和使得，一个具有），请考虑在，和。 然后，。 您的假设对于严格递增的函数是正确的。如果 f 严格递增，则。$x$$y$$x\leq y$$f ( x ) \leq f ( y )$$X$$[0, 1]$$f=0$$a=1$
$P(X<a) = P(X<1) = 1 \neq 0 = P(0<0) = P(f(X) < f(a))$
$\{X<a\} = \{f(X)<f(a)\}$