机器算法验证 - 泊松分布的似然函数是否积分为 1 - 吾爱随笔录

泊松分布的似然函数是否积分为 1

机器算法验证可能性分布泊松分布

2022-03-30 06:24:14

的不同值的泊松分布。如果我要固定一个 k 的值比如）并对不同的 λ 求和那么是真的吗？ $\lambda$ $k$ $k=3$ $\lambda$ $\sum_{\lambda}P(X=k| \lambda) = 1$

如果没有，是否有一种明显的方法来调整此分布以满足此属性？

1个回答

除了我的评论之外，如果您将总和替换为积分（这更有意义），则该声明是正确的。事实上，我们可以证明，对于所有人 $k \in \mathbb{N}$ ：

\int_{0}^{\infty} P (X = k | λ) d λ = \int_{0}^{\infty} \frac{λ^{k} e x p (- λ)}{k!} d λ = \frac{Γ (k + 1)}{k!} = \frac{k!}{k!} = 1.

$\int_0^\infty P(X=k|\lambda)\,d\lambda = \int_0^\infty \frac{\lambda^kexp(-\lambda)}{k!}\,d\lambda = \frac{\Gamma(k+1)}{k!} = \frac{k!}{k!} =1.$ 事实上，伽马函数已经定义为

Γ (x) = \int_{0}^{\infty} λ^{x - 1} \exp (- λ) d λ

$\Gamma(x) = \int_0^\infty \lambda^{x-1}\exp(-\lambda)\, d\lambda$ . 此外，众所周知

Γ (k + 1) = k!

$\Gamma(k+1) = k!$ 如果

k \in N

$k \in \mathbb{N}$ .

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