如果您希望将对数逻辑分布拟合到数据中，这样做相当简单。在下面的示例中，我使用该函数dllog来获取给定的一组形状和比例参数值的对数逻辑密度，但自己编写 PDF 代码也没有问题。

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（对数-）似然和 MLE

对数逻辑分布的随机变量的密度具有概率密度函数 [PDF]：

$$f(X_i; \alpha, \beta) = \dfrac{\left(\tfrac{\beta}{\alpha}\right)\left(\tfrac{X_i}{\alpha}\right)^{\beta - 1}}{\left(1+ \left(\tfrac{X_i}{\alpha}\right)^{\beta}\right)^2}$$ 在哪里$\alpha$和$\beta$分别是尺度和形状参数。

对于给定的数据样本$X_1, \ldots, X_N$，这意味着样本的对数似然为：

$$\ell_N(\alpha, \beta \mid X_1, \ldots, X_N) = \sum_{i=1}^N \log f(X_i; \alpha, \beta)$$

给定数据样本的参数的 MLE 由对数似然的最大化器给出：

$$\hat{\alpha}_{MLE}, \hat{\beta}_{MLE} = \arg\max_{\alpha, \beta}\ell_N(\alpha, \beta \mid X_1, \ldots, X_N)$$

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计算和优化对数似然

在下面的代码中：
0. 我使用该函数rllog从具有参数的对数逻辑分布中生成随机样本c(5, 6)。
1. 该函数fnLLLL计算数据的（负）对数似然。
2. 该函数fnLLLL使用包中的函数dllog来FAdist计算对数逻辑分布的 PDF 。 3.计算使负对数似然最小化的和的值，这些值是优化器的初始值。这些优化值是和$f$
optim$\alpha$$\beta$c(2, 3)$5.132758$$5.654340$, 负对数似然函数的优化值为。$9239.179$

# simulate some log-logistic data
library(FAdist)
vY = rllog(n = 1000, shape = 5, scale = 6)

# log-likelihood function
fnLLLL = function(vParams, vData) {
  # uses the density function of the log-logistic function from FAdist
  return(-sum(log(dllog(vData, shape = vParams[1], scale = vParams[2]))))
}

# optimize it
optim(c(2, 3), fnLLLL, vData = vY)

这给出了：

> optim(c(2, 3), fnLLLL, vData = vY)
$par
[1] 5.132758 5.654340

$value
[1] 9239.179

$counts
function gradient 
      57       NA 

$convergence
[1] 0

$message
NULL

我在上面询问了参数化，因为在精算科学（至少在美国）中，对数逻辑（Fisk）通常是参数化的：

$$\begin{align} f(x) &= \frac{\gamma\left(\frac{x}{\theta}\right)^\gamma}{x + \left[1 + \left(\frac{x}{\theta}\right)^\gamma\right]^2}\\ F(x) &= \frac{\left(\frac{x}{\theta}\right)^\gamma}{1 + \left(\frac{x}{\theta}\right)^\gamma} \end{align}$$

因此：

$$LL(x) = \ln\gamma + \gamma\left(\ln x - \ln\theta\right) - \ln x - 2\ln\left(1 + \left(\frac{x}{\theta}\right)^\gamma\right)$$

如上所述，为此（嗯，负对数似然）创建一个错误函数，类似于：

NLL_LGLG <- function(pars, X) {
  gamma <- pars[[1]]
  theta <- pars[[2]]
  LL <- log(gamma) + gamma * (log(X) - log(theta)) - log(X) -
        2 * log(1 + (X / theta) ^ gamma)
  return(-sum(LL))
}

deriv3如果您想使用 L_BFGS 等基于梯度的方法（或者如果速度至关重要，则可以手动计算），但将上述内容和您的数据插入或optim应该nloptr是您想要的。如果你不想滚动你自己的对数，而这个参数化是你想要的，你可以在 CRAN 上dllogis的actuar包中找到。