机器算法验证 - 对数均匀分布 - 吾爱随笔录

对数均匀分布

机器算法验证可能性分布均匀分布

2022-03-31 07:33:51

我很难理解什么是对数均匀分布。

假设均匀分布在区间上。我如何描述？似乎在较低的数字上有更多的概率质量，因此 X 本身不是均匀分布的，但我很难将这个论点形式化。 $\log X$ $[1,e]$ $P(X=x)$

2个回答

您对的定义表明是一个连续随机变量，但您的问题建议您希望将其视为离散变量。如果你要的是概率密度函数，而不是概率质量函数，那么我们可以自然地使用变换，因为是一个单调函数：如果，然后和这当然意味着不是均匀分布的。 $X$ $X$ $\Pr[X = x]$ $X$ $\log$ $Y = g^{-1}(X) = \log X$ $X = g(Y) = e^Y$

f_{X} (x) = f_{Y} (g^{- 1} (x)) | \frac{d g^{- 1}}{d x} | = \dots

$f_X(x) = f_Y(g^{-1}(x)) \left| \frac{dg^{-1}}{dx} \right| = \ldots$

X

$X$

我喜欢@heropup 的回答，但对他没有完成 OP 的推导这一事实感到有些困扰。为了丰富他的答案，我想添加以下图片，以及对上述答案的一些评论：

如果你遵循@heropup 的推导，你会发现

f_{X} (x) = \frac{I_{[e, e^{e}]} (x)}{x (e - 1)}

$f_{X}(x) = \frac{I_{[e, e^e]}(x)}{x(e-1)}$

更一般地，如果，使得对于一些随机变量，那么 $Y \sim Unif(a,b)$ $Y = log(X)$ $X$

f_{X} (x) = \frac{I_{[e^{a}, e^{b}]} (x)}{x (b - a)}

$f_{X}(x) = \frac{I_{[e^a, e^b]}(x)}{x(b - a)}$

为了验证您的直觉，我制作了的图形，以便我们看到原始随机变量实际上是在上定义的，看起来像。正如您所指出的，在的域的“开始”处确实存在更多质量，并且仅从 CDF 的图片中，我们可以看到也不能均匀分布（因为 CDF 不是直线线）。 $Y \sim Unif(0,1)$ $[1, e]$ $1/x$ $X$ $X$

我希望这能充实上述答案......

编辑：你可以在这里找到制作这张照片的代码。

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