是的，这是引导程序不一致的典型示例，但二次采样会产生有效的推理。参见Swanepoel (1986)、Politis 和 Romano (1994)或Canty 等。人。（2006 年）。

为什么不直接使用置信区间的定义？

您寻求一个置信上限$\theta$, 说$1-\alpha$覆盖范围。因为这无异于估计一个规模和$X_n$是你的测试统计，你应该寻找一个 UCL 的形式$cX_n$对于一些普遍的常数$c$. 这一切意味着（根据定义）是

$$1-\alpha = {\Pr}_\theta[c X_n \ge \theta] = {\Pr}_\theta[X_n \ge \theta/c] = 1-\left(\frac{1}{c}\right)^n.$$

解决方案是。$c = \alpha^{-1/n}$

有趣的是，可以以相同的方式找到的置信下限，形式 with。这个置信区间从不包含！$\theta$$b X_n$$b = (1-\alpha)^{-1/n}$$\hat{\theta} = X_n$

例如，假设并且我们寻求（对称的）两侧 95% 置信区间，因此。因此和：我们有 95% 的信心认为，底层均匀分布的极限位于从该分布中提取的 10 个 iid 中最大值的 1.446 到 1.003 倍之间。$n=10$$\alpha = 0.025$$c=1.446126$$b=1.002535$$\theta$

作为测试（在 R 中）：

# Specify the confidence.
alpha <- 1 - 0.95

# Create simulated values.
n <- 10                                 # Number of iid draws per trial
nTrials <- 10000                        # Number of trials
theta <- 1                              # Parameter (positive; its value doesn't matter)
set.seed(17)
x <- runif(n*nTrials, max=theta)        # The data
xn <- apply(matrix(x, nrow=n), 2, max)  # The test statistics

# Compute the coverage of the simulated intervals.
ucl.k <- (alpha/2)^(-1/n)
lcl.k <- (1-alpha/2)^(-1/n)
length(xn[lcl.k * xn <= theta & theta <= ucl.k * xn]) / nTrials

这个（可重现的）示例产生 95.05%，尽可能接近 95% 的标称覆盖率。