我记得读过使用百分置信区间进行自举相当于使用 Z 区间而不是 T 区间并使用而不是作为分母。不幸的是，我不记得我在哪里读到了这篇文章，并且在我的快速搜索中找不到参考。当 n 很大时，这些差异并不重要（当 n 很大时，引导程序的优势超过了这些小问题，但是较小时，这可能会导致问题。这是一些用于模拟和比较的 R 代码：$n$$n-1$$n$$n$

simfun <- function(n=5) {
    x <- rnorm(n)
    m.x <- mean(x)
    s.x <- sd(x)
    z <- m.x/(1/sqrt(n))
    t <- m.x/(s.x/sqrt(n))
    b <- replicate(10000, mean(sample(x, replace=TRUE)))
    c( t=abs(t) > qt(0.975,n-1), z=abs(z) > qnorm(0.975),
        z2 = abs(t) > qnorm(0.975), 
        b= (0 < quantile(b, 0.025)) | (0 > quantile(b, 0.975))
     )
}

out <- replicate(10000, simfun())
rowMeans(out)

我的一次运行结果是：

     t      z     z2 b.2.5% 
0.0486 0.0493 0.1199 0.1631 

所以我们可以看到，使用 t 检验和 z 检验（具有真实总体标准差）都给出了 I 类错误率，其本质上。不正确的 z 检验（除以样本标准差，但使用 Z 临界值而不是 T）拒绝空值的频率是应有的两倍以上。现在到引导程序，它拒绝空值的频率是它应该拒绝的 3 次（查看 0，真实均值是否在区间内），所以对于这个小样本量，简单引导程序的大小不合适，因此确实不解决问题（这是数据最正常的时候）。改进的引导间隔（BCa 等）可能会做得更好，但这应该引起一些关于使用引导作为小样本量的灵丹妙药的担忧。$\alpha$

其他答案批评引导置信区间的性能，而不是引导本身。这是一个不同的问题。

如果您的上下文满足引导分布收敛的规律性条件（根据引导样本数量的收敛），那么如果您使用足够大的引导样本，该方法将有效。

如果您真的想找到使用非参数引导程序的问题，这里有两个问题：

(1)重采样问题。

对于小样本或大样本，bootstrap 的问题之一是重采样步骤。在保持样本结构（相关性、时间性...）的同时重新采样并不总是可能的。这方面的一个例子是叠加过程。

假设有许多独立的源，每个源不时发生事件。假设任何一个源的连续事件之间的间隔都是独立的随机变量，它们都具有相同的分布，因此每个源都构成了一个熟悉类型的更新过程。源的输出组合成一个汇集输出。

在保持依赖未知结构的同时如何重新采样？

(2)小样本的窄引导样本和引导置信区间。

在小样本中，每个子样本的估计量的最小值和最大值可能会定义一个窄区间，那么在某些模型中，任何置信区间的左右端点都将非常窄（考虑到小样本，这是违反直觉的！）。

假设，其中是速率。使用轮廓似然，您可以获得一个近似置信区间（95% 的近似置信区间是 0.147 水平的轮廓似然区间），如下所示：$x_1,x_2\sim \text{Exp}(\lambda)$$\lambda>0$

set.seed(1)
x <- rexp(2,1)
# Maximum likelihood estimator
1/mean(x)

# Profile likelihood: provides a confidence interval with right-end point beyond the maximum inverse of the mean
Rp <- Vectorize(function(l) exp(sum(dexp(x,rate=l,log=T))-sum(dexp(x,rate=1/mean(x),log=T))))

curve(Rp,0,5)
lines(c(0,5),c(0.147,0.147),col="red")

此方法生成一条连续曲线，您可以从中提取置信区间。的最大似然估计是。通过重采样，我们只能为这个估计器获得三个可能的值，它们的最大值和最小值定义了相应引导置信区间的界限。即使对于大型引导样本，这也可能看起来很奇怪（通过增加这个数字你不会获得太多）：$\lambda$$\hat{\lambda}=2/(x_1+x_2)$

library(boot)
set.seed(1)
x <- rexp(2,1)
1/mean(x)
# Bootstrap interval: limited to the maximum inverse of the mean
f.boot <- function(data,ind) 1/mean(data[ind])
b.b <- boot(data=x, statistic=f.boot, R=100000)
boot.ci(b.b, conf = 0.95, type = "all")
hist(b.b$t)

在这种情况下，和越接近，引导分布越窄，因此置信区间越窄（可能远离真实值）。事实上，这个例子与@GregSnow 提出的例子有关，尽管他的论点更具经验性。我提到的界限解释了@Wolfgang 分析的所有引导置信区间的不良性能。$x_1$$x_2$

如果为您提供的样本量较小（顺便说一句，什么是“小”似乎取决于每个研究领域的一些潜在的习惯规则），那么任何引导程序都无法发挥作用。假设数据库包含正在调查的两个变量中的每一个的三个观察值，那么任何推论都是没有意义的。以我的经验，当样本分布（每个至少 10-15 个观察值）出现偏差时，非参数引导程序（1,000 或 10,000 次重复）可以很好地替代 t 检验，因此不满足通常的 t 检验的先决条件。此外，无论观察的数量有多少，当数据呈正偏态时，非参数引导可能是强制性的选择，因为它总是发生在医疗保健成本上。

Bootstrap通过确保测试的正确性（例如，标称的 0.05 显着性水平接近测试的实际大小）在小样本量中运行良好，但是 bootstrap不会神奇地赋予您额外的能力。如果你有一个小样本，你就没有什么力量，故事结束。

参数（线性模型）和半参数（GEE）回归往往具有较差的小样本属性......前者是由于对参数假设的依赖性很大，后者是因为放大了小样本中的稳健标准误差估计。Bootstrapping（和其他基于重采样的测试）在这些情况下表现得非常好。

对于预测，bootstrapping 将比拆分样本验证为您提供更好（更诚实）的内部有效性估计。

由于无意中纠正了平均插补程序/热甲板（例如在模糊匹配中），自举通常会给您带来更少的权力。Bootstrapping 被错误地声称在匹配分析中提供更大的力量，在这种分析中，个体被重新采样以满足足够的集群大小，从而为 bootstrap 匹配的数据集提供比分析数据集$n$