不，二元正态分布并不是唯一具有以下性质的分布：是 y 的线性函数，E是 x 的线性；许多其他发行版具有相同的属性。$E[X\mid Y=y]$$y$$E[Y\mid X=x]$$x$

例如，假设均匀分布在顶点为的三角形上，使得关节密度在三角形内部的值为。作为动机，请注意这是的联合 pdf，其中和是 iid随机变量。现在，请注意给定，的条件分布在上是均匀的，因此是线性的$(X,Y)$$(0,0), (1,1), (0,1)$$f_{X,Y}(x,y)$$2$$\left(\min(U,V),\max(U,V)\right)$$U$$V$$\mathcal U(0,1)$$Y=y, y \in (0,1)$$X$$(0,y)$$E[X\mid Y=y] = y/2$的函数。类似地，假设，的条件分布在上是均匀的，因此是的线性函数。$y$$X=x, x \in (0,1)$$Y$$(x,1)$$E[Y\mid X=x] = \frac 12 + \frac x2$$x$

不 - 它不仅仅是双变量法线的属性。例如

• 令是具有有限均值的独立同分布。然后让和。$A,B,C$$\mu$$X=A+B$$Y=A+C$

• $E[A \mid X=x] =E[B \mid X=x] = \frac12 E[A+B \mid X=x]=\frac12 E[X \mid X=x]= \frac 12x$。

• 所以中是线性的。$E[Y \mid X=x]=E[A \mid X=x] +E[C \mid X=x] = \frac 12x+\mu$$x$

• 同样。$E[X \mid Y=y]=E[A \mid Y=y] +E[B \mid Y=y] = \frac 12y+\mu$