如果是秩为且大小为 ×的矩阵，可以写为$A$$k$$m$$n$$A$

$A=UV^{T}$

其中的大小为 x，的大小为 x。和的列不一定是正交的。 $U$$m$$k$$V$$n$$k$$U$$V$

如果你有的 SVD ，那么很容易从 SVD 计算这个低秩分解。给定 SVD$A$

$A=U\Sigma V^{T}$

其中是一个对角矩阵，只有个非零项，我们可以将写为$\Sigma$$k$$\Sigma$$A$

$A=U_{:,1:k} \Sigma_{1:k,1:k} V_{:,1:k}^{T}$。

对角线上的比例因子$\Sigma_{1:k,1:k}$可以纳入$V$以便$A$并且可以写成$A=UV^{T}$.

但是，计算大型矩阵的奇异值分解可能非常昂贵，并且结果$U$和$V$矩阵通常是完全密集的。

有专门的算法可以启发式地找到比计算完整 SVD 更快的矩阵的低秩近似。其中一些方法发现稀疏$U$和$V$矩阵，并
处理以下情况$A$只是大约等级$k$（例如，由于条目中的噪声。）目前对各种低秩矩阵分解算法有很多兴趣。