可能性和概率可以一起检查

除了观察到它有时被用作概率的量化之外，我不知道“合理性”的任何正式定义。但是，我可以告诉你其他两个概念之间的关系。可能性是一个与概率略有不同的概念，它界定了在更广阔的空间内可能发生的所有结果。“可能性测度”有另一种代数，具有不同类型的可加性属性，反映了可能性测度是“组合的”这一事实. 可以对任意一组结果上的所有事件的集合应用可能性测度，但是如果事件类别具有概率测度所需的结构，那么我们也可以对同一类事件进行概率测度，即允许我们检查这两种措施的相互作用。这两种度量基于一个简单直观的规则相互作用：每个不可能事件的概率为零。（请注意，反过来并不总是正确的。）

有大量文献着眼于可能性的数学表示（称为“可能性理论”），它与模糊集理论密切相关。可以在Yager (ed) (1982)、Kacprzyk 和 Orlovski (eds) (1987)、Dubois 和 Prade (1988)、Terano、Asai 和 Sugeno (1992)以及Zadeh 和 Kacprzyk (1992)中找到该文献的概述。在Dubois 和 Prade (1993)中可以找到对可能性和概率表示之间关系的有用分析。

正式介绍：假设我们让$\Omega_*$表示一组结果并让$\mathscr{G}_*$是一类具有足够结构以允许概率测量的事件（即，它是一个 sigma 域）。假设我们有一个可能性度量$\mathbb{pos}$和概率测度$\mathbb{P}$在这类事件上，产生一个可能性/概率空间$(\Omega_*, \mathscr{G}_*, \mathbb{pos}, \mathbb{P})$. 这个空间允许我们检查可能性和概率之间的相互作用。起点是我们的基本公理（我称之为“对应公理”），它表示每个不可能的事件都必须具有零概率：

对应公理：对于所有事件$\mathcal{E} \in \mathscr{G}_*$我们有：

$$\mathbb{pos}(\mathcal{E}) = 0 \quad \quad \implies \quad \quad \mathbb{P}(\mathcal{E}) = 0.$$

缩小范围以仅查看可能的结果是有用的。一组可能的结果（我称之为可能性空间）由下式给出$\Omega \equiv \{ \omega \in \Omega_* | \mathbb{pos}( \{ \omega \} ) > 0 \}$，这就产生了事件的子类$\mathscr{G}$上$\Omega$. 可能性空间之外的所有结果（即，在$\Omega_* - \Omega$) 是不可能的。使用可能性测度的性质和上述公理很容易显示以下内容：

可能性空间之外的事件：对于所有事件$\mathcal{E} \subseteq \Omega_* - \Omega$我们有$\mathbb{pos}(\mathcal{E}) = \mathbb{P}(\mathcal{E}) = 0$; 所有这些事件都是不可能的，概率为零。

一旦定义了可能性空间，就可以将对应公理重写为如下所示的更紧凑的形式。这个版本指出可能性空间是一个几乎可以肯定的事件。

对应公理（另一种形式）：我们有$\mathbb{P}(\Omega) = 1$.

如果您已经完成了概率论的基础课程，您将认识到这是概率的规范公理，适用于“样本空间”。因此，对应公理的后一种版本是我们通常只从空间开始的理由$\Omega$在概率论的应用中。通常，我们会将这组可能的结果作为我们的“样本空间”，并形成概率空间$(\Omega, \mathscr{G}, \mathbb{P})$使用那个空间。在这个公式中，样本空间中的每个结果都被认为是可能的结果（因为该空间只是可能性空间）。除此之外的任何结果都是不可能的，因此它们的概率为零，可以放心地忽略。

由于概率论构成了统计分析的基础，这实质上意味着我们可以忽略一组概率为零的结果，并将注意力集中在一些几乎肯定发生的样本空间上。消除不可能的事件是这种减少的自然部分。

如您所见，“可能性”和“概率”的概念之间存在明显的形式交互。这解决了学生在处理连续随机变量时的常见困惑，我们的结果具有零概率密度（因此零概率），但这些结果仍然是可能的结果。如果您阅读一些关于可能性理论的文献，您会发现它允许可能性度量是“模糊的”，因为它可以采用零和一以外的值。然而，考虑这种度量被限制为 0 或 1 的情况是有益的，以获得对可能性和概率相互作用的基本直觉。