A 人和 B 人各自独立地投掷相同的不平衡硬币，并计算他们每个人获得第一个正面的次数。假设用这枚硬币获得正面的概率为。A 人比 B 人需要更多投掷硬币来获得第一个正面的概率是多少。$\pi, 0 < \pi < 1, \pi \ne 1/2$

我的想法：有两种方法可以解决这个问题。

方法 1：找出两个人需要相同次数的抛硬币才能获得第一个正面的概率。然后，取这个空间的补数并除以 2，因为 A 的投掷次数 > B 的投掷次数同样可能，反之亦然。这是因为它们具有相同的边际概率：

让和分别表示人 A 和 B 的投掷次数。和 。然后，。取出并将其识别为几何级数后，我得到。这个对吗？如果是这样，那么我们可以说，对吗？$X$$Y$$p(x)=\pi(1-\pi)^{x-1}$$p(y)=\pi(1-\pi)^{y-1}$$P(X=Y)=\pi^2 + (\pi(1-\pi))^2 + \cdots$$\pi$$P(X=Y)=\frac{\pi}{2-\pi}$$P(X>Y)=\frac{1}{2}(1-\frac{\pi}{2-\pi})$

方式2：这会更严格，如果A人和B人的边际概率不相同，我想真正学习这种方式。我们可以做一个双重求和。我写下了以下内容：，其中索引人 B 的投掷次数，而索引人 A 的投掷次数。这是正确的吗？如果是，我怎样才能从中得出更清晰的答案？$\Sigma^{\infty}_{j=1, j < i}\Sigma^{\infty}_{i=2}[(\pi(1-\pi)^{i-1}\cdot(\pi(1-\pi)^{j-1}]$$j$$i$