这里的 MLE 没有什么特别之处，因为您所要求的内容确实适用于任何优化问题。在这个更广泛的意义上，您想知道最大化/最小化函数所需的方法。

应用标准微积分方法进行优化，您应该能够获得函数临界点的方程，以及优化的二阶条件，这通常可以让您找到最大化点。通常最大化点是一个临界点，在这种情况下，优化涉及找到临界点方程的解。在某些问题中，临界点具有明确的封闭形式解决方案，如您问题中的示例所示。在其他问题中，临界点方程没有封闭形式的解，在这种情况下，通常通过迭代数值方法求解该方程（即，从某个任意点开始，然后越来越接近临界点通过一些迭代算法）。

区分这些情况的最佳方法是简单地尝试代数优化，看看这是否会导致您获得显式解决方案，或者需要数值方法的情况。如果可以得到最大值的显式封闭形式的解，那么你就完成了，不需要数值方法。如果您需要数值方法来找到临界点方程的解，那么您可以以代数方式形成这个迭代过程，或者依赖于诸如bbmlein之类的包R。归根结底，优化需要熟悉微积分；凭借经验，您将能够预测哪些问题可以提供封闭形式的解决方案，哪些问题需要迭代方法。