如果您的模型非常不充分，至少一个离散（或连续）分布的观察对于任何参数值的概率（或概率密度）为零，也就是说，您基本上观察到了在此条件下不可能的事情模型，那么是的，您的最大可能性为零。$\theta\in\Theta$

如果您观察到在每个可能的参数值下概率密度为零的样本，则似然函数在参数空间上为零。在这种情况下，每个参数值都是 MLE 的合法值（即，MLE 是整个参数空间），并且在作为 MLE 的每个点的可能性为零。这种情况是不寻常的（并且通常需要错误指定的模型）。更常见的情况是，当参数空间中至少一个参数值的似然函数为正时，在这种情况下，任何 MLE 点的似然必须为正（证明如下）。

定理：考虑一个似然函数我们有：$L_\mathbf{x}: \Theta \rightarrow \mathbb{R}$

作为此似然函数的 MLE 的任何点。$\hat{\theta} \in \Theta$$L_\mathbf{x}(\hat{\theta}) > 0$

证明：我们继续使用反证法。假设与定理相反，有一个点是 MLE 并且具有。由于这一点是一个 MLE，它必须满足：$\hat{\theta}$$L_\mathbf{x}(\hat{\theta}) \leqslant 0$

这意味着对于所有与定理中似然性的条件相矛盾. 通过矛盾，这完成了证明。 $L_\mathbf{x}(\theta) \leqslant L_\mathbf{x}(\hat{\theta}) \leqslant 0$$\theta \in \Theta$$\blacksquare$

当您将 MLE 定义为似然函数具有最大值的唯一点时，如果参数空间由多个点组成，则 MLE 中的似然度必须非零。

原因是可能性必须是非负的，因此零是整个范围的最小值。如果 MLE 的可能性为零，那么这会导致矛盾。这是因为：如果极值等于整个范围的最小值，则不可能有唯一的极值点。每个点都将具有相同的值。

在@Jarle Tufto 的答案中添加一个具体示例：如果是 iid，那么任何小于最大观察值的 \theta 给出的可能性，因为在此模型下，所有观测值都必须小于（或等于）。$X_1, X_2, \dotsc, X_n$$\mathcal{U}(0, \theta)$$\theta$$\theta$