显然，对患有这种疾病的人口数量的良好（无偏）估计是$X/(1\%)=100X$.

$X$有一个二项分布——但我们不知道它的参数，因为我们缺乏关于人口规模的信息（除了知道它至少是$800/(1\%)=800\times100=80000$）。如果我们假设人口中患有这种疾病的人的比例很小，那么非常近似$X$具有泊松分布。对抽样标准差的良好估计$X$是它的平方根。如果这个未知比例很大，那么抽样标准差为$X$将小于它的平方根：所以让我们保守地使用平方根来确保我们产生的置信区间不会过窄。

又是因为$X$很大，它的采样分布也将近似于正态。因此，要找到置信度的两侧置信区间$100-100\alpha\%$, 找到上$100-100\alpha\%$标准正态分布的百分位数为$Z_{1-\alpha/2}$并形成区间

这至少有一个$100-100\alpha\%$覆盖真实值的机会。

和$X=800$和$\alpha=0.05$（为一个$95\%$置信区间），$Z_{1-\alpha/2} = 1.96$并且间隔是

为了更深入地了解这个结果，我们可能会要求计算机绘制 CI 的极限（使用二项分布的正态近似）作为总体规模的函数。可能的最小尺寸是$80000$，所以让我们将任何潜在的人口规模表示为这个最小值的倍数。

保守的 95% 限制绘制为水平灰线，而二项式限制绘制为红色曲线。您可以看到二项式区间很快接近极限：除非人口中的大多数人都有这种情况，否则保守区间不会太宽。

可以为无需替换的采样生成类似的图：左侧的间隔会更窄，但到倍数达到时$10$或更大，这两个地块之间几乎没有区别。

假设我们有一个人口$N$伯努利试验，但$N$是未知的。假设（示例中为 0.01）是已知的，我们绘制一个大小为（未知）的简单随机样本。试验中观察到次成功（已知） 。我们想估计次试验的成功次数。$α ∈ [0, 1]$$αN$$X$$αN$$K$$N$

由于抽样没有放回，遵循超几何分布，总体大小为，样本大小为，成功次数为您可以以贝叶斯方式估计，将先验放在和的最大似然估计（如您所料，这可能是）。$X$$N$$αN$$K$$K$$N$$K$$K$$X/α$

当然，如果不知道真实值，就无法计算估计值与真实值之间的误差。您可以使用可信区间（在贝叶斯情况下）或自举置信区间（在 MLE 情况下）来了解估计的不确定性。