要跟进@cardinal 的评论：您的$x$,$y$， 和$z$定义一个$(3 \times 3)$相关矩阵$R$. 由于相关矩阵也是（标准化变量的）可能的协方差矩阵，因此它必须是正定的。如果所有特征值都是$> 0$. 如果$R$确实是正定的，那么所有方差向量（即数字）将把变成正定协方差矩阵，其中是制成的对角矩阵。$\boldsymbol{s}$$> 0$$\boldsymbol{R}$$\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{D}_{s}^{1/2} \boldsymbol{R} \boldsymbol{D}_{s}^{1/2}$$\boldsymbol{D}_{s}^{1/2}$$\boldsymbol{s}$

因此，只需从构造并检查特征值是否都。如果是这样，那么您很好，您可以将任何数据集转换为具有任意方差的相应协方差矩阵：$R$$x, y, z$$> 0$

x <- 0.5
y <- 0.3                            # changing this to -0.6 makes it not pos.def.
z <- 0.4
R <- matrix(numeric(3*3), nrow=3)   # will be the correlation matrix
diag(R) <- 1                        # set diagonal to 1
R[upper.tri(R)] <- c(x, y, z)       # fill in x, y, z to upper right
R[lower.tri(R)] <- c(x, y, z)       # fill in x, y, z to lower left
eigen(R)$values                     # get eigenvalues to check if pos.def.

给

[1] 1.8055810 0.7124457 0.4819732

所以我们是正定的。现在从任意方差构造相应的协方差矩阵。$\boldsymbol{R}$

vars  <- c(4, 16, 9)                # the variances
Sigma <- diag(sqrt(vars)) %*% R %*% diag(sqrt(vars))

生成一些数据矩阵，我们稍后将转换为具有该协方差矩阵。$\boldsymbol{X}$

library(mvtnorm)                    # for rmvnorm()
N  <- 100                           # number of simulated observations
mu <- c(1, 2, 3)                    # some arbitrary centroid
X  <- round(rmvnorm(n=N, mean=mu, sigma=Sigma))

为此，我们首先对矩阵进行正交归一化，给出矩阵和协方差矩阵（恒等式）。$\boldsymbol{X}$$\boldsymbol{Y}$$\boldsymbol{I}$

orthGS <- function(X) {             # implement Gram-Schmidt algorithm
    Id <- diag(nrow(X))
    for(i in 2:ncol(X)) {
        A <- X[ , 1:(i-1), drop=FALSE]
        Q <- qr.Q(qr(A))
        P <- tcrossprod(Q)
        X[ , i] <- (Id-P) %*% X[ , i]
    }
    scale(X, center=FALSE, scale=sqrt(colSums(X^2)))
}

Xctr <- scale(X, center=TRUE, scale=FALSE)  # centered version of X
Y    <- orthGS(Xctr)                        # Y is orthonormal

变换矩阵具有协方差矩阵和质心。$\boldsymbol{Y}$$\boldsymbol{\Sigma}$$\boldsymbol{\mu}$

编辑：这里发生了什么：做一个谱分解，其中是归一化特征向量的矩阵和是对应的特征值矩阵。现在矩阵有协方差矩阵，作为。$\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{G} \boldsymbol{D} \boldsymbol{G}^{t}$$\boldsymbol{G}$$\boldsymbol{\Sigma}$$\boldsymbol{D}$$\boldsymbol{G} \boldsymbol{D}^{1/2} \boldsymbol{Y}$$\boldsymbol{G} \boldsymbol{D}^{1/2} Cov(\boldsymbol{Y}) \boldsymbol{D}^{1/2} \boldsymbol{G}^{t} = \boldsymbol{G} \boldsymbol{D} \boldsymbol{G}^{t} = \boldsymbol{\Sigma}$$Cov(\boldsymbol{Y}) = \boldsymbol{I}$

eig    <- eigen(Sigma)
A      <- eig$vectors %*% sqrt(diag(eig$values))
XX1ctr <- t(A %*% t(Y)) * sqrt(nrow(Y))
XX1    <- sweep(XX1ctr, 2, mu, "+")         # move centroid to mu

检查相关矩阵是否真的是。$\boldsymbol{R}$

> all.equal(cor(XX1), R)
[1] TRUE

出于其他目的，现在的问题可能是：我如何找到一个与预先指定的非正定矩阵“非常相似”的正定矩阵。我不知道。

编辑：更正了一些平方根

如果您没有给出完整的相关集合，而只是部分集合，那么您可以构造一个半定规划可行性问题，该问题可用于确定是否存在具有指定相关性的相关矩阵。这可以通过各种 SDP 求解器解决，例如 SeDuMi 和 SDPT3。