一般问题：给定一个单位半径的飞镖，飞镖随机落在以飞镖为中心的半径为 1/3 的圆内的概率是多少？
标准答案：投掷飞镖以使其以相同的可能性击中每个点。它落在内圆内的概率是两个圆的面积之比，即1/9。
其他公式：假设飞镖直接扔在飞镖板的中心，但风来自随机方向。对于任何风向，风速都会将飞镖从飞镖板的中心推向其周边一段距离，每个距离的可能性相同。每个风向量都是等可能的，并且对于每个向量，每个距离都是等可能的。距离飞镖盘中心不到 1/3 个单位的概率是 1/3。
对于每个配方，随机性的定义是不同的。在标准答案中，从集合的概率。在另一个公式中，选择一个随机向量并且，在这个向量上，距离上被统一选择。的概率。
我理解解决这个问题的数学，但我不明白为什么这些不同的随机性概念会给出两个不同的答案。似乎两者都是回答一般问题的有效方法。凭直觉，他们为什么给出不同的答案？
直观地，想象如下建模第二个公式：随机选择一个与轴的角度，称为，然后将飞镖的位置建模为沿着线。大约，飞镖在内圈的概率为. 然而，当你考虑所有这些细长矩形的集合（比如画它们）时，你会发现它们在飞镖板中心附近有更多的重叠区域，而在飞镖板周边的重叠区域更少。当您绘制越来越大的矩形时，这将更加明显（尽管近似值会更糟）。当您使矩形变薄时，近似值会变得更好，但同样的原则也适用：您在圆心周围放置了更多区域，这增加了撞击内圆的可能性。
在我看来，根本问题是这两种情况假设飞镖位置的不同数据生成过程会导致不同的概率。
第一种情况的数据生成过程如下所示： (a) 选择 a和 (b) 选择一个的约束。那么所需的概率是。
第二种情况的数据生成过程如问题中所述：（a）选择一个角度和（b）在直径上选择一个与 x成角度的点-轴。在这个数据生成过程中，所需的概率是问题中提到的
正如 mbq 所阐明的，问题在于“随机降落在飞镖板上”这个短语不够精确，因为它使“随机”的含义模棱两可。这类似于询问随机抛硬币时正面朝上的概率是多少。如果我们假设硬币是公平的硬币，答案可以是 0.5，但如果硬币偏向正面，它可以是其他任何值（例如，0.8）。
将棋盘视为过滤器——它只是将棋盘上的位置转换为飞镖命中的字段的 id。所以输出将只是一个确定性转换的输入——因此很明显，投掷飞镖的不同实现将导致结果的分布。
这个悖论本身是纯粹的语言——“随机投掷”似乎没问题，而事实是它错过了有关如何实现投掷的关键信息。