深入研究 Reproduce Kernel Hilbert Spaces (RKHS) 的定义，我遇到了以下示例，取自 [1] 的第 49-51 页：

给定内核，其中，可以证明两者$k(x,y) = \langle x,y\rangle^2$$x,y\in \mathbb R^2$

$\phi(x) = [x_1^2,~ x_2^2,~ x_1x_2, ~x_1x_2]$，具有特征空间$\mathcal H = \mathbb R^4$

$\phi^{\prime}(x) = [x_1^2,~ x_2^2,~ \sqrt 2 x_1x_2]$，具有特征空间$\mathcal H^\prime = \mathbb R^3$

是内核的有效特征图。然而，幻灯片指出和都不是 RKHS，因为根据定义，RKHS 对于给定内核必须是唯一的。你能解释一下在这种情况下 RKHS 是什么吗？$\mathcal H$$\mathcal H^\prime$

关于该主题的其他参考资料指出，RKHS对于同构[2]是唯一的。在这个定义下，我猜 和同构而被认为是 RKHS 。$\mathcal H_k$$\mathcal H$$\mathcal H^\prime$$\mathcal H_k$

[1] http://www.stats.ox.ac.uk/~sejdinov/teaching/atml14/Theory_slides1_2014.pdf

[2] http://users.umiacs.umd.edu/~hal/docs/daume04rkhs.pdf