我喜欢@ShijiaBian 的回答。我会添加以下内容。

归一化常数很重要，因为没有它，（1）您将没有有效的概率分布，并且（2）您无法评估参数值的相对概率。例如，如果您将数据为条件的高斯条件，则您将无法对参数值的似然度进行平均，因为两个 PDF 内核乘积的无限总和不提供封闭形式。数学上：$x_t$$\theta$

$$\begin{align} p(\theta) &= \text{Poisson}(\lambda)\\ p(x_t|\theta) &= \mathcal{N}(\theta, \sigma^2)\\ p(\theta | \mathbf{X}) &= \frac{p(\theta)\prod_tp(x_t|\theta)}{\sum_\Theta p(\theta)\prod_tp(x_t|\theta)} \end{align}$$

展开分子，你会发现：

$$p(\theta | \mathbf{X}) \propto \frac{1}{\theta!}\lambda^\theta(2\pi\sigma^2)^{-T/2}\prod_t\exp{\left[\frac{-1}{2\sigma^2}(x_t^2 - 2\theta x_t + \theta^2) - \frac{\lambda}{T}\right]}$$

要规范化此函数，您必须对的所有可能（离散）值求和：。这在分析上是不可能的，因为对于上述形式的无限和，没有封闭形式的表达式。但是，如果您不这样做，您的函数将不会积分为，并且您将没有有效的概率密度。此外，规范化确保对于的每个值，您可以准确地确定的其他值的相对概率。$\theta$$0, 1, 2, \ldots, \infty$$1$$\theta = \theta^*$$\theta^*$$\theta$

的值进行标准化，例如从到，那么您无法比较该范围外的值与该范围内的值的可能性有多大。然而，这确实表明，如果您对可能受到限制的值范围有一些信念，您可以将您的分布截断到该范围并在该范围内以数字方式执行求和，例如到。到的值范围内获得有效的概率分布（截断的泊松）。然而，这要困难得多，当$\theta$$0$$10$$\theta$$\theta$$0$$10$$0$$10$$\theta$是连续的（例如，Beta 或 Gamma 分布），尽管您可以执行数值积分。然而，数值积分在高维中是困难的，因此您必须将的维数限制在计算上可行的范围内。$\theta$

后验分布与总概率定律无关，尽管它们看起来相似。

给定的是归一化常数。这很难计算的原因是因为1）。共轭性质只能应用于某些特定的分布；2）。先验和似然函数可以是高维的，很难整合；3）。积分可能不是封闭形式。$P_X(x)$

这就是为什么重采样方法必须在贝叶斯逼近中发挥作用的原因。