我会将调查期间的总呼叫次数建模为带有偏移量的 Poisson GLM。

什么是偏移量？设是观察到的呼叫次数，是预期的呼叫次数，是第次调查的持续时间（以分钟为单位）。令为回归矩阵，为回归系数的相关向量。$y_i$$\lambda_i$$t_i$$i$$X$$\beta$

不包括持续时间的模型如下所示：

$$\begin{aligned} y_i \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_i) \\ \log(\lambda_i) = x_i^T\beta \end{aligned}$$

上述等式将总调用率表示为协变量的函数。但是，如果样本之间的调查持续时间不同，则该模型将不正确。相反，我们想要：

$$\begin{aligned} y_i \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_i/t_i) \\ \log(\lambda_i/t_i) = x_i^T\beta \end{aligned}$$

相反，它将每分钟呼叫率建模为协变量的函数（基本上通过采样工作量标准化预期的呼叫次数）。重新排列：

$$\begin{aligned} \log(\lambda_i/t_i) = \log(\lambda_i) - \log(t_i) = x_i^T\beta \\ \Rightarrow \log(\lambda_i) = x_i^T\beta + \log(t_i) \end{aligned}$$

$\log(t_i)$被称为“偏移”或“曝光”。如果每个调查都具有相同的持续时间，则偏移量对于推理并不重要，但我将考虑一个不是这种情况的示例，以提供更一般的答案。

使用您的样本量，假设对照组的平均调用率为每分钟 6 次调用，而实验单元中的平均调用率为每分钟 4 次。此外，让我们假设调查分布在七个站点之间。

作为环境协变量的一个例子，我们还假设植被覆盖会影响调用率，因此植被覆盖率增加 1% 会导致每分钟调用率增加 0.001。

一些R代码提供一个例子：

## simulated data
set.seed(101)
treatment   <- rep(c(0, 1), c(200, 173)) # dummy variable for treatment
n.site      <- 7 # number of sites
site.effect <- rnorm(7, 0, 0.4) # site deviations 
site.labels <- sample(1:7, length(treatment), replace = T) # random site labels 
                                                           #   for surveys
intercept   <- log(6) # rate per minute in control
exp.effect  <- log(6)-log(4) # diff. between control and experimental unit, 
                             #   in calling rate per minute
veg.cover   <- rbeta(length(treatment), 0.3*7, 0.7*7)*100 # fake vegetation cover data
veg.effect  <- 0.001 # multiplicative effect of vegetation on calling rate
l.duration  <- log(rpois(length(treatment),20)) # logged survey duration (random)
lambda      <- exp(intercept + site.effect[site.labels] + treatment*exp.effect + 
                   veg.cover*veg.effect + l.duration) # linear predictor
y           <- rpois(length(treatment), lambda) # simulated response variable 
                                                #   (ie. total number of calls)
## fit model to data
# first ignoring site effects,
m0 <- glm(y ~ treatment + veg.cover + offset(l.duration), family = poisson)
# now with random site effects
library(lme4)
m1 <- glmer(y ~ treatment + veg.cover + offset(l.duration) + (1|site.labels), 
            family = poisson) # ignore warnings

summary(m1) 
## we recover accurate estimates for treatment effect, vegetation cover, 
## and a less accurate estimate of the variance of the site effect.
## note that the regression coefficients are on a log (ie. a multiplicative) scale

该函数offset()强制回归系数为 1。

您可能还需要考虑过度分散（当然，我通常包括过度分散）。这样做的一种方法是在对 的调用中包含个人级别的随机效应（本质上是乘法残差）glmer()：

id <- 1:length(treatment)
glmer(y ~ treatment + veg.cover + offset(l.duration) + (1|site.labels) + (1|id), 
      family = poisson)

在这个例子中，个体水平随机效应的方差很小，因为我们没有在模拟响应中包含过度离散。但是，实际计数数据通常会过度分散 - 换句话说，响应中会有额外的变化，这可归因于未观察到的因素（即在您的情况下，未测量的因素可能包括额外的环境变量、生物因素、人口密度、观察者效应等）

假设相当大（每组可能有 35 个或更多），那么您可以使用检验，假设方差是两组都同样大。 $N$$t$

这是有道理的，因为您是随机的，所以我们不会期望一个观察值的方差在不同组之间系统地不同。

要在 R 中运行它，请参阅：

http://www.stat.columbia.edu/~martin/W2024/R2.pdf