正如您所描述的那样，您的数据构成了混合分布。假设已知分布是具有已知方差的正态分布，则混合的均值和方差为： 其中索引分量分布，是混合的比例每个组件构成。

$$\begin{align} \mu_{\rm mixture} &= \sum_k p_k\mu_k \\ \sigma^2_{\rm mixture} &= \sum_k p_k\big((\mu_k - \mu_{\rm mixture})^2 + \sigma^2_k\big) \end{align}$$ $k$$p_k$

在您的零假设下，组分混合物都具有相同的均值（为方便起见，我们可以将其称为）。此外，我收集的比例都是，因为每个组件只有一个数据。这些事实大大简化了您的情况。您的数据的预期方差将等于已知分量方差的总和。另一方面，如果均值发生变化，则分量均值的方差会大大增加混合物的方差。$0$$1/N$

因此，您只需测试数据的方差是否大于已知分量方差的总和。这可以通过卡方检验来完成（参见@Glen_b 的答案：为什么方差的抽样分布是卡方的？）。

这是一个快速R演示：首先我模拟原假设并显示它的分布。然后我生成零假设为假的数据并显示测试。数据是从正态分布中提取的三个点，均值等于（或者它们可以是其他任何值，只要它们相同），方差等于、和。因此得到的混合分布方差为。在这种情况下，有三个数据点，因此您有个自由度。$0$$4$$6$$8$$18/3 = 6$$2$

set.seed(0884)                   # this makes the example reproducible
chi.vect = vector(length=10000)  # this will store the test statistics
for(i in 1:10000){               # I do this 10k times
  x  = c(rnorm(1,0,sd=sqrt(4)),  # here I generate the three data points
         rnorm(1,0,sd=sqrt(6)), 
         rnorm(1,0,sd=sqrt(8)))
  vx = var(x)                    # this computes the variance of the sample
  chi.vect[i] = 2*vx / 6         # this computes the test statistic
}

x   = c(rnorm(1, mean=30, sd=sqrt(4)),  # these data come from distributions
        rnorm(1, mean=20, sd=sqrt(6)),  #   w/ different means
        rnorm(1, mean=10, sd=sqrt(8)))  # x   = 29.26698 26.00434 13.89382
vx  = var(x)                            # vx  = 65.60725
chi = 2*vx / 6                          # chi = 21.86908
1-pchisq(chi, df=2)                     # p   =  1.783157e-05

qqplot gung 提供的看起来是正确的。但是绘制的点并没有紧跟 y = x！如果分布实际上是卡方，则应该是这种情况。这是一个 qqplot，包括从以下代码生成的行 y=x （改编自 gung 的答案）：

# Generates the q-q plot comparing the theoretical 
# chi-squared distribution to the empirical distribution 
# of the randomly sampled values:
empirical_quantiles = chi.vect[order(chi.vect)]
empirical_cdf = c(1:length(chi.vect))/length(chi.vect)
exact_quantiles = qchisq(empirical_cdf,df = 2)
plot(exact_quantiles,empirical_quantiles)
abline(0,1, col="red")

要回答 OP：假设和所有都是独立的，那么您可以执行以下操作： 然后可以通过科克伦定理证明： 所以你所要做的就是将每个除以已知的标准差，计算均值和平方偏差之和，然后从自由度为请注意，$s_i \sim N(\mu, \sigma_i^2)$$s_i$

$$\begin{equation} X_i := \frac{s_i}{\sigma_i}\\ \bar{X} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$$ $$\begin{equation} T := \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sim \chi^2_{n-1} \end{equation}$$ $s_i$$n-1$$T$对应于均值的很大差异，因此您需要卡方的上尾。