saq7的答案是错误的，也没有回答问题。

∥A∥ 表示$L2$规范$A$，即向量在欧几里得空间中的长度，而不是向量的维数$A$. 换句话说，您不计算 0 位，您只需将 1 位相加并取平方根。

抱歉，对于您何时应该使用哪个指标，我没有真正的答案，但我不能让不正确的答案不受挑战。

Jaccard 相似性由下式给出 $s_{ij} = \frac{p}{p+q+r}$

在哪里，

p = 两个对象的正属性
q = i 的属性 1 和 j
的属性 0 r = i 的属性 0 和 j 的属性 1

而余弦相似度 =$\frac{A \cdot B}{\|A\|\|B\|}$其中 A 和 B 是对象向量。

简单地说，在向量 A 和 B 仅包含 0 和 1 的情况下，余弦相似度将共同属性的数量除以 A 和 B 与零的距离的乘积。而在 Jaccard Similarity 中，公共属性的数量除以两个对象中至少一个中存在的属性的数量。

还有许多其他的相似性度量，每一个都有自己的怪癖。在决定使用哪一个时，请尝试考虑几个具有代表性的案例，并找出哪个索引可以提供最有用的结果来实现您的目标。

余弦索引可用于识别抄袭，但不是识别互联网上镜像站点的好索引。而 Jaccard 索引将是识别镜像站点的一个很好的索引，但在捕捉复制意大利面抄袭（在更大的文档中）方面不是那么好。

应用这些指标时，您必须彻底考虑您的问题并弄清楚如何定义相似性。一旦你有了一个定义，你就可以开始购买索引了。

编辑： 早些时候，我在这个答案中有一个例子，这最终是不正确的。感谢指出这一点的几位用户，我已经删除了错误的示例。

Jaccard 相似度用于两种类型的二元情况：

1. 对称，其中 1 和 0 具有同等重要性（性别、婚姻状况等）
2. 不对称，其中 1 和 0 具有不同的重要性级别（检测疾病呈阳性）

余弦相似度通常在文本挖掘的上下文中用于比较文档或电子邮件。如果两个文档词向量之间的余弦相似度较高，则两个文档具有更多的共同词

另一个区别是 1 - Jaccard 系数可以用作相异度或距离度量，而余弦相似度没有这样的结构。类似的事情是用于分类学的 Tonimoto 距离。

saq7的答案是错误的。

在哪里 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$是二进制向量，它们可以被解释为值为 1 的索引集。因此让我们考虑集合$A$ 和 $B$.

Jaccard 相似度由下式给出

$$J(A, B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|} = \frac{|A \cap B|}{|A \cap B| + |A - B| + |B - A|}$$

余弦相似度由下式给出

$$C(A, B) = \frac{|A \cap B|}{\sqrt{\left|A\right|\left|B\right|}} = \frac{|A \cap B|}{\sqrt{(\left|A\cap B\right| + |A - B|)(\left|A\cap B\right| + |B - A|)}}$$

一些比较：

• 这里的分子是一样的。
• 分母随着大小的算术增长 $|A|$ 和 $|B|$ 在 Jaccard 中，但在几何上是余弦。
• 余弦的分母只取决于项目的数量 $|A|$ 和项目的数量 $|B|$. 这不取决于他们的交集。

我还没有一个明确的直觉，应该在哪里优先于另一个，除了正如 Vikram Venkat 指出的那样，1 - Jaccard 对应于一个真正的度量，不像余弦；余弦自然扩展到实值向量。