在几何上，向量 w 的方向正交于由定义的线 $w^{T} x = b$. 这可以理解为：

先拍 $b = 0$. 现在很清楚所有向量，$x$, 内积消失 $w$ 满足这个方程，即所有与 w 正交的向量都满足这个方程。

现在将超平面从原点平移到向量 a 上。平面方程现在变为：$(x − a)^{T} w = 0$，即我们发现对于偏移量 $b = a^{T} w$，这是向量的投影 $a$ 到向量上 $w$.

在不失一般性的情况下，我们可以选择垂直于平面，在这种情况下，长度 $\vert\vert a \vert\vert = \vert b \vert /\vert\vert w\vert\vert$ 它表示原点和超平面之间的最短正交距离。

因此向量 $w$ 被称为与分离超平面正交。

让决策边界定义为 $w^Tx + b = 0$. 考虑要点$x_a$ 和 $x_b$，位于决策边界上。这给了我们两个等式：

$$\begin{equation} w^Tx_a + b = 0 \\ w^Tx_b + b = 0 \end{equation}$$

减去这两个方程给我们 $w^T.(x_a - x_b) = 0$. 请注意，向量$x_a - x_b$ 位于决策边界上，它是从 $x_b$ 到 $x_a$. 由于点积$w^T.(x_a - x_b)$ 为零， $w^T$ 必须正交于 $x_a - x_b$，然后到决策边界。

之所以 $w$ 是超平面的法线是因为我们将它定义为：

假设我们在 3d 空间中有一个（超）平面。让$P_0$ 成为这个平面上的一个点，即 $P_0 = x_0, y_0, z_0$. 因此来自原点的向量$(0,0,0)$ 到这点只是 $<x_0,y_0,z_0>$. 假设我们有一个任意点$P (x,y,z)$在飞机上。向量连接$P$ 和 $P_0$ 然后由下式给出：

$$\vec{P} - \vec{P_0} = <x-x_0, y-y_0, z-z_0>$$ 请注意，此向量位于平面内。

现在让 $\hat{n}$是平面的法线（正交）向量。所以：

$$\hat{n} \bullet (\vec{P}-\vec{P_0}) = 0$$ 所以： $$\hat{n} \bullet \vec{P}- \hat{n} \bullet \vec{P_0} = 0$$ 注意 $-\hat{n} \bullet \vec{P_0}$ 只是一个数字，等于 $b$ 在我们的例子中，而 $\hat{n}$ 只是 $w$ 和 $\vec{P}$ 是 $x$. 所以根据定义，$w$ 与超平面正交。

使用与超平面正交的向量的代数定义：

$\forall \ x_1, x_2$ 在分离超平面上，

$$w^T(x_1-x_2)=(w^Tx_1 + b)-(w^Tx_2 + b)=0-0=0 \ \small\Box.$$