SVD是分解矩阵的操作$M$进入矩阵产品$M=U\Lambda V$， 在哪里$U$和$V$是酉矩阵 ($U^TU=UU^T=I$等），以及$\Lambda$是对角线。

所以正式的答案是：

1. 不，没有关于分布的假设$M$. 它根本不是随机的，它只是任何性质的矩阵。
2. 状况$n>m$， 在哪里$(n, m)$是形状$M$， 没有必要。确实，如果你有$n>m$, 你可以转置方程 $M=U\Lambda V$要得到 $M^T=V^T\Lambda U^T$，这也是一个有效的 SVD 分解。

现在是不太正式的部分。

在数据挖掘中，SVD 有两个主要应用：计算（如矩阵求逆、最小二乘等）和降维（例如压缩推荐系统中的用户项目矩阵）。对于计算，只有 SVD（如上所示）的代数性质很重要。

为了降维，使用截断的 SVD：$\Lambda$被丢弃，并且只有$k$最大的被保留。这个操作相当于找一个$k$维超平面，使得数据的投影（$M$) 在这个超平面上最接近原始数据（以欧几里得距离）。

在最后一种情况下，分析师希望分解能够很好地推广到看不见的数据，并且这个问题可以用概率语言很好地表述。如果我们说$M$包括$n$独立身份证$m$维随机变量，那么如果它们是联合正态的，那么 SVD 似乎效果最好。那是因为：

一个。多元正态分布实际上几乎是一个超平面，并且

湾。对于多元正态，欧几里得距离与概率密度紧密相关。因此，截断的 SVD（或 PCA，在数学上是相同的）可以被视为多元正态分布的最大似然估计，其中$k$独立的组件。有关详细信息，请参阅Bishop 的文章。