我将把自己限制在有限维的情况下。

首先，如果我们谈论的是正常特征值而不是广义特征值，我们需要一个方阵。如果$M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ （或者 $\mathbb{C}^{n\times n}$) 是一个可对角矩阵，它有一个特征分解

$$\begin{equation} M = V\Lambda V^{-1} \textrm{,} \end{equation}$$ 和 $V:=\begin{bmatrix}v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\end{bmatrix}$ 矩阵及其 $n$ 特征向量 $v_{i}$ 作为列和 $\Lambda :=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\right)$ 在其主对角线上具有相应特征值的对角矩阵。

从这个方程可以看出，如果你想得到具有相同特征向量的矩阵，即 $V$ 固定的，你只能改变特征值 $\lambda_{i}$. 通常，特征值与原始矩阵的条目之间的关系$M$ 是不平凡的。

如果特征向量出现最简单的情况 $v_{i}$ 形成标准基础，即仅 $1$ 在 $i$位置， $0$否则。然后$M=I\Lambda I^{-1}=\Lambda$ ($I$ 单位矩阵），您可以在不更改任何特征向量的情况下更改主对角线上的每个条目。

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我对这个问题的理解与维克多不同。我认为这个问题是问相同的特征向量可以描述什么样的不同数据集。

唯一这样的现有“数据集”是一个 1×1 矩阵，其唯一项具有任意值。

如果特征向量，是矩阵的列$V$, 是“相同的”（精确到一个标量常数因子），然后是矩阵$V$是奇异的（它的列是线性相关的；它的行列式为零），因此是不可逆的$\Rightarrow$这样的特征分解$V \cdot \Lambda \cdot V^{-1}$不可能存在。