在阅读机器学习的最小二乘实现时，我在以下两张照片中看到了这段话：
也许我误解了 beta 的含义，但如果 X^T 的维度为 1 xp 而 beta 的维度为 px K，那么 hat{Y} 的维度为 1 x K 并且是行向量。根据文本，除非另有说明，否则向量被假定为列向量。
有人可以提供澄清吗？
编辑：本文中的矩阵表示法让我感到困惑。上述段落之前的页面内容如下：
假设 p 向量是具有 p 个元素的列向量，引用的矩阵是否应该没有维度 px N？
注意：本文摘自 Hastie、Tibshirani 和 Friedman 的“统计学习要素”。
这是一个很好的例子，说明当您将文本脱离上下文时会发生什么。
已编辑问题中添加的段落有所不同，但这还不够，而且符号无处不在也无济于事。我找到了教科书和相关段落（第 2.3 节，第 10-11 页）。这是一个解释的快速尝试。
作者将X称为具有分量X j的变量（标量或向量），但在本段后面，他们将X j称为变量（我认为这是正确的表示法）。将“变量”与“组件”不同，将X视为一组p变量（通常意义上的变量，例如温度、股票价格等）。您可以将多个变量x i ( i = 1...p ) 放入向量X中，并将X的每个实例称为观察值 . 换句话说，观察是所有变量x i的一组测量值。
假设您进行了N次观察。将您的观察结果排列在具有N行和p列的矩阵中，其中每一行代表一个观察值（X的一个实例）。
现在还假设您正在尝试查找输入变量x i和一组不同的变量y k之间的关系，称为因变量或响应变量。一般来说，变量x i和y k是测量的，模型只是试图提取输入变量和因变量之间的关系，以便您可以从前者预测后者。
附带说明一下，观察结果通常用上标( x (n) ) 表示，变量用下标( x i ) 表示，因此不会混淆哪个是哪个。x i (n)是变量x i的第n个观察（测量）值。
在您的情况下，您有一个因变量y和p输入变量x i（i = 1...p）。假设它们的关系是线性的（注意：在许多情况下，这种假设是不合理的），我们可以为每个变量分配权重（“重要性”）并尝试从测量中找出这些权重。在您的情况下，权重用beta i表示（因此变量x i的“重要性”是beta i；注意相同的下标）。
如果您对因变量y有N个观测值，那么您可以将它们排列在一列中，就像对输入变量的观测值一样。请注意，我们仍然有一个因变量，所以本质上y是一个标量，但是该标量的N个观测值形成一个N维列向量。
现在将N xp输入矩阵乘以权重beta的p维列向量。你得到的是y ( \hat{y} )的N个预测值的列向量。预测值的N维列向量\hat{y}和测量值的N维列向量y的差就是误差（用最小二乘法最小化）。
如果您有q个因变量y i ( i = 1...q )，则它们中的每一个通常都有自己的一组权重beta。换句话说，输入变量和每个 y i之间的关系将是不同的。因变量也可以排列在一个矩阵中（就像输入矩阵一样），它的维数是N xq，其中q。在这种情况下，beta矩阵将不是一个单一的N维列向量，而是一个N xq矩阵。测试版中的每一列矩阵给出了输入变量和第q个因变量y q之间的关系。在这方面，对所有变量y i的单个观察将是y矩阵中的行向量。
我希望这能澄清一点。总而言之，教科书中的解释是正确的，但符号很难理解，有时甚至容易产生误导（如本节开头的变量和组件的情况）。老实说，您可以从Wikipedia文章中获得更直观的线性回归解释。
我用过Wasbeta和Y_predas Y_hat。
显然，就惯例而言，特征向量X和权重向量W都被假定为列向量。尽管这在您的情况下并不重要，但是当我们使用神经网络时，这一点尤其重要，并且层的权重向量由下式给出，p*N_n其中p是从前一层输入的特征数，并且N_n是层。检查一个NN结构，你就会明白我在说什么。
就您当前问题的特殊情况而言，这本书是正确的，尽管评论说Y_predicted应该是矢量，但事实并非如此，因为我们在和之间进行点积X（W尽管它以矢量化形式表示）。
另外如何W 有维度p*K（假设它不是NN），这意味着同一问题的多种解决方案？相反X，它将具有尺寸p*K并将W具有p*1. 这意味着您拥有K具有特征的训练示例p。
如果它是一个带有K节点的NN，那么Xlikep*N和Was的尺寸p*K是完全可能的。这种表示法的唯一缺点是您必须再次对结果进行转置。
以下是使用的符号的解释：