计算科学 - 如何在 FEM 中制定集中质量矩阵 - 吾爱随笔录

如何在 FEM 中制定集中质量矩阵

计算科学有限元时间积分纳维斯托克斯

2021-12-07 23:55:34

当使用有限元方法求解时间相关 PDE 时，例如热方程，如果我们使用显式时间步长，那么由于质量矩阵，我们必须求解线性系统。例如，如果我们坚持热方程示例，

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

然后使用正向欧拉我们得到

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

因此，即使我们使用显式时间步进方案，我们仍然必须求解线性系统。这显然是一个主要问题，因为使用显式方案的主要优点是不必求解线性系统。我已经读过解决这个问题的一种常见方法是使用“集总”质量矩阵，它将常规（一致？）质量矩阵转换为对角矩阵，从而使反演变得微不足道。然而，在进行谷歌搜索后，我仍然不完全确定这个集总质量矩阵是如何创建的。例如，查看他的论文NUMERICAL EXPERIMENTS ON MASS LUMPING FOR THE ADVECTION-DIFFUSION EQUATIONEdson Wendland Harry 和 Edmar Schulz 他们通过简单地将所有系数加到对角线上来创建他们的集中质量矩阵。例如，如果我们最初的一致质量矩阵是：

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

那么集中质量矩阵将是：

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

那么我的问题是：这是形成集总质量矩阵的正确方法吗？就精度而言，使用集中质量矩阵而不是完全一致的质量矩阵存在哪些缺点？我提到的论文的作者实际上建议不要使用集中质量矩阵，尽管他们似乎只使用了一个隐式时间步进方案，我认为这很奇怪，因为使用这种矩阵的主要原因是用于显式方法。

注意：我永远不会使用正向欧拉来求解热方程，这只是一个例子。此外，如果重要的话，我的问题是求解 Navier Stokes 方程，其中显式处理非线性项，隐式处理扩散项。

谢谢

1个回答

我认为对此没有明确的答案，因为它可能会从一个主题变为另一个主题（并且还取决于您使用的元素类型）。最近也有一些论文讨论了这一点[2]。所以，这不是一个封闭的讨论。此外，当您将具有运动学约束的单元作为梁或壳时，您可以有不同的惯性分量（至少在力学中）。

Zienkiewicz（参见 [1]，第 16.2.4 节）讨论了对质量矩阵进行集总的三种方法

行求和法
$M_{i i}^{(lumped)} = \sum_{j} M_{i j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
对角缩放调整以满足。
$M_{i i}^{(lumped)} = c M_{i i}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
使用仅涉及节点的求积对用于，。 $M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

并非所有方法都适用于所有情况，例如，行求和方法不适用于 8 节点偶然性元素，因为它会导致负质量。

我使用了方法 2，因子是元素的总质量（）除以矩阵的轨迹（），即 $M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

M_{i i}^{(lumped)} = \frac{M_{tot}}{T r (M)} M_{i i} (no summation on i) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

我还将方法 3 与所谓的带有 Lobatto 节点的光谱元素方法（使用这些位置作为节点和积分点）一起使用，这会自动导致对角矩阵。

从[1]中，你可以看到这张图描述了一些元素类型的一些方法一些二维有限元的质量集总

参考

[1] 朱，J.，ZRL 泰勒和 OC Zienkiewicz。“有限元方法：它的基础和基本原理。” （2005 年）：54-102。

[2] Felippa、Carlos A.、郭琼和 KC Park。“质量矩阵模板：一般描述和一维示例。” 工程计算方法档案 22.1 (2015): 1-65。

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