我试图更好地理解具有可变速度系数的平流方程。特别是我不明白方程式如何保守。

平流方程,

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$$

来解读一下$u(x,t)$作为一些物理物种的浓度（$cm^{-3}$) 或其他一些无法创建或销毁的物理量。如果我们整合$u(x,t)$在我们的领域，那么我们应该保持不变，

$$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$$

（这就是我所说的保守的意思。）

如果我们现在让速度成为空间（和时间）的函数，$\boldsymbol{v}(x,t)$，那么必须应用链式法则给出，

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$$

最后一个术语“看起来”像一个源术语，这让我感到困惑。它会增加或减少数量$u$取决于速度场的散度。

按照这个问题，我了解如何施加守恒边界条件。但是，对于可变速度平流方程，我不明白如何推导出守恒边界条件，因为应用链式法则引入了额外的“源项”。这个方程可以保守吗？如果是这样，如何应用正确的边界条件？