除了 Christian 的回答之外，还值得注意的是，对于线性收敛，如果方法收敛，则有，其中有。另一方面，对于二次收敛，你有并且方法收敛的事实并不一定意味着必须小于 1。相反，收敛的条件是$e_{k+1} \le \lambda_1 e_k$$\lambda_1<1$$e_{k+1} \le \lambda_2 e_k^2$$\lambda_2$$\lambda_2 e_1<1$- 即，您的起始猜测足够接近。这是通常观察到的行为：二次收敛算法需要从解决方案“足够接近”开始才能收敛，而线性收敛算法通常更稳健。这也是为什么在切换到更有效的算法（例如，牛顿法）之前，通常先从线性收敛算法（例如，最速下降法）的几个步骤开始的另一个原因。

在实践中，是的。虽然$e_k$仍然很大，但速率系数$\lambda$将主导误差而不是 q 速率。（请注意，这些是渐近率，因此您链接到的语句仅适用于$k\to\infty$的限制。）

例如，对于优化中的一阶方法，您通常会观察到错误最初快速下降，然后趋于平稳。另一方面，对于牛顿法，在超线性（或二次）收敛开始之前可能需要一段时间（毕竟它只是局部超线性收敛）。出于这个原因，通常在切换到牛顿方法之前先从几个梯度步骤开始，或者使用同伦或准牛顿方法，它们最初表现为一阶方法，当你接近时变成牛顿方法目标。

解释在质量上是正确的。

请注意，线性和二次收敛是针对最坏情况的，特定算法中的情况可能比 Wolfgang Bangerth 给出的最坏情况分析中的情况要好，尽管定性情况通常与此分析相对应。

在具体算法中（例如，在优化中），首先使用廉价但仅线性收敛的方法进行迭代直到进展变慢，然后使用二次（或至少超线性）收敛方法完成通常是有意义的。在实践中，超线性收敛往往与二次收敛一样好，只是因为初始的、缓慢收敛的部分往往会主导整个工作。