在有限元方法中，矩阵条目和右手边的条目被定义为积分。一般来说，我们可以不精确地计算这些并应用正交。但是人们可以选择许多求积公式，而且人们经常选择它们的方式是（i）求积引入的误差与离散化引起的误差具有相同的数量级，或者至少不会更差，并且（ii）该矩阵具有某些性质，结果证明是方便的。

质量集总是这种工作的一个例子：如果选择一个特定的求积公式（即求积点位于有限元的插值点的那个），那么得到的质量矩阵恰好是对角的。这对于计算实现来说非常方便，也是人们使用这些求积公式的原因。这也是它“起作用”的原因：这种特殊的求积公式选择仍然具有相当高的阶数。

对角矩阵在加速数值计算方面具有明显优势，Wolfgang Bangerth 的回答很好地解释了如何计算对角质量矩阵，但它并没有回答 OP 的问题“为什么这个工作”在“为什么”的意义上它与您正在建模的物理非常接近”。

从概念上讲，您可以将单元的响应分为三个部分：刚体的平移运动、围绕单元质心的刚性旋转以及单元的变形。

元素质量矩阵的基本功能是将元素 KE 表示为二次形式（即其中是节点速度）。$\frac 1 2 v^T M v$$v$

随着单元尺寸的减小，刚体旋转对 KE 的贡献比平移的贡献减小得更快，（对于具有典型线性尺寸 a 的实体单元成正比，但惯性矩为与成比例）并且单元变形的贡献可以忽略不计（至少对于弹性应变小的问题）。$a$$a^3$$a^5$

因此，您只需要对运动的刚体部分进行“良好”近似，即 6 个自由度，实际上，当单元尺寸为减少。

元素矩阵的对角项包含足够多的独立参数以足够准确地表示这 3 或 6 个 KE 项。事实上，对于高阶元素，您可以使用质量对角质量矩阵，其中中间节点的对角项为零。

请注意，这是与单元势能完全不同的情况，其中刚体平移和旋转的贡献为零，唯一重要的是表示对应于单元变形的应变能。因此，对角刚度矩阵不是一个可行的想法！

除了其他答案之外，在某些情况下，质量矩阵中的误差对预期结果没有影响。

给定一个具有唯一解形式的非线性变形问题，可以考虑将其求解为动态问题具有质量矩阵和阻尼矩阵通过一些适当的时间离散化。很容易看出，当达到静止状态（）时，原始问题得到了解决。重要的是，对这个结果没有影响（只要收敛到唯一的结果）。$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

质量集总的理由更多地与收敛速度有关，而不是例如正交误差¹：反转对角线的容易性导致使用适当的时间积分方案（其中是唯一的矩阵逆）。$M$$M^{-1}$

^{1尽管使用“正确的”质量矩阵对动态物理行为进行推理当然更容易 - 例如，集总质量矩阵可能不正确地守恒角动量。}