计算科学 - 不动点问题中的非单调收敛 - 吾爱随笔录

背景

我正在从液体理论中求解Ornstein-Zernike方程的一个变体。抽象地，问题可以表示为解决不动点问题 $A c(r)=c(r)$ ，在哪里 $A$ 是一个积分代数算子并且 $c(r)$ 是解函数（OZ 直接相关函数）。我正在通过 Picard 迭代解决，我提供了一个初始试验解决方案 $c_0(r)$ 并通过该方案产生新的试验解决方案

c_{j + 1} = α (A c_{j}) + (1 - α) c_{j},

$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$ 在哪里

α

$\alpha$ 是一个可调节的参数，控制混合

c

$c$ 和

A c

$Ac$ 在下一个试用解决方案中使用。对于本次讨论，我们假设

α

$\alpha$ 不重要。我重复直到迭代收敛到所需的容差内，

ϵ

$\epsilon$ ：

Δ_{j + 1} \equiv \int d \vec{r} | c_{j + 1} (r) - c_{j} (r) | < ϵ .

$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$ 在我的问题变体中，

A

$A$ 取决于一个参数

λ

$\lambda$ ，我的问题是关于如何收敛

A c = c

$Ac=c$ 取决于这个参数。

对于广泛的值 $\lambda$ ，上面的迭代方案以指数方式快速收敛。然而，随着我减少 $\lambda$ ，我最终达到了一个收敛是非单调的状态，如下图所示。

关键问题

在不动点问题的迭代解中，非单调收敛有什么特殊意义吗？这是否表明我的迭代方案处于不稳定的边缘？最重要的是，非单调收敛是否应该让我怀疑“收敛”解决方案不是解决定点问题的好方法？