您对“半正定”或“正定”的工作定义是什么？在浮点运算中，您必须为此指定某种容差。

您可以根据矩阵的计算特征值来定义它。但是，您应该首先注意到矩阵的计算特征值与矩阵成线性比例，例如，我通过将乘以一百万的因子得到的矩阵的特征值乘以一百万。是负特征值吗？如果你的矩阵的所有其他特征值都是正的并且在的数量级上，那么实际上是 0 并且不应被视为负特征值。因此，重要的是要考虑缩放。 $A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

一种合理的方法是计算矩阵的特征值，如果所有特征值都大于，其中是最大的特征值。 $-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

不幸的是，计算矩阵的所有特征值相当耗时。另一种常用的方法是，如果矩阵在浮点算术中具有 Cholesky 分解，则认为对称矩阵是正定矩阵。计算 Cholesky 分解比计算特征值快一个数量级。您可以通过向矩阵添加一个小的单位数倍数将其扩展到正半定性。同样，存在缩放问题。一种快速的方法是对矩阵进行对称缩放，使对​​角线元素为 1.0，并在计算 Cholesky 分解之前 $\epsilon$

不过，您应该小心这一点，因为这种方法存在一些问题。例如，在某些情况下，和是正定的，因为它们具有浮点 Cholesky 因式分解，但没有 Cholesky 因式分解。因此，“浮点 Cholesky 可分解正定矩阵”的集合不是凸的！ $A$$B$$(A+B)/2$

• Kerr, TH，“确定性测试矩阵和产生需求的应用示例”，AIAA 指导、控制和动力学杂志，卷。10，第 5 期，第 503-506 页，1987 年 9 月至 10 月。

• Kerr, TH，“关于正半定矩阵检验的错误陈述”，AIAA 指导、控制和动力学杂志，卷。13，第 3 期，第 571-572 页，5 月至 6 月。1990.（如在 1970 年代和 1980 年代使用反例的导航和目标跟踪软件中发生的那样）

• Kerr, TH，“矩阵正定性/半定性计算测试中的谬误”，IEEE 航空航天和电子系统汇刊，卷。26, No. 2, pp. 415-421, Mar. 1990. [列出了作者发现在 1970 年代末和 1980 年代初美国海军潜艇导航和声纳浮标软件中经常存在的错误算法，并使用反例指出问题。 ]

Python 对于@Brian Borchers 的建议，尝试 Cholesky 分解：

from sksparse.cholmod import cholesky, CholmodNotPositiveDefiniteError
    # https://scikit-sparse.readthedocs.io/en/latest/cholmod.html

def testposdef( A, beta=1e-6, pr="" ):
    """ try cholesky( a scipy.sparse matrix  + beta I )

    Why A + beta I, beta say 1e-6 ?
    If A has tiny eigenvalues, 0 to within machine precision,
    about half of these "zeros" may be negative -- tough on solvers.
    Also the condition number improves to ~ rho(A) / beta.
    """
    try:
        solve = cholesky( A, beta=beta )  # A + beta I
        if pr:
            print( "%s + %g I is positive-definite" % (pr, beta ))
        return solve  # x = solve( b )
    except CholmodNotPositiveDefiniteError:
        if pr:
            print( "%s + %g I is not positive-definite" % (pr, beta ))
        return False