您可以做的最明显的事情是预先计算

[L,U] = lu(A)~ O(n^3)

然后你只需计算

x = U \ (L \ b)~ O(2 n^2)

这将大大降低成本并使其更快。准确度是一样的。

我们在关于这个主题的科学计算课程中做了一些广泛的计算机实验室。对于我们在那里进行的“小”计算，Matlab 的反斜杠运算符总是比其他任何东西都快，即使在我们尽可能优化代码并事先重新排序所有矩阵之后（例如，使用 Reverse Cuthill McKee 对稀疏矩阵进行排序） .

您可以查看我们的实验室说明之一。第 4 页（很快）介绍了您的问题的答案。

例如，切尼写了一本关于该主题的好书。

认为$A$是一个$n\times n$ 密集矩阵，你必须解决$Ax_i = b_i$,$i=1\dots m$. 如果$m$足够大，那么就没有错

V = inv(A);
...
x = V*b;

翻牌是$O(n^3)$对于inv(A)和$O(n^2)$，V*b因此为了确定盈亏平衡值$m$需要一些实验...

>> n = 5000;
>> A = randn(n,n);
>> x = randn(n,1);
>> b = A*x;
>> rcond(A)
ans =
   1.3837e-06
>> tic, xm = A\b; toc
Elapsed time is 1.907102 seconds.
>> tic, [L,U] = lu(A); toc
Elapsed time is 1.818247 seconds.
>> tic, xl = U\(L\b); toc
Elapsed time is 0.399051 seconds.
>> tic, [L,U,p] = lu(A,'vector'); toc
Elapsed time is 1.581756 seconds.
>> tic, xp = U\(L\b(p)); toc
Elapsed time is 0.060203 seconds.
>> tic, V=inv(A); toc
Elapsed time is 7.614582 seconds.
>> tic, xv = V*b; toc     
Elapsed time is 0.011499 seconds.
>> [norm(xm-x), norm(xp-x), norm(xl-x), norm(xv-x)] ./ norm(x)
ans =
   1.0e-11 *
    0.1912    0.1912    0.1912    0.6183

在这个简单的例子中$A^{-1}$预计算优于$LU$前向和后向解决方案$m>125$.

一些笔记

有关稳定性和错误分析，请参阅对此不同答案的评论，尤其是 VictorLiu 的评论。

提议的时间安排根本不是“科学的”，而是为了表明 Milind R 在答案中提出的方法，虽然如果通过调用相关的 LAPACK 和 BLAS 子例程在 C 或 Fortran 中实现它是完全有意义的，但可能证明不是这样在 Matlab 中有效，即使对于$m\ll n$.

时序是在一台 12 核计算机上使用 Matlab R2011b 执行的，UNIX 平均负载相当恒定，为 5；三探头的最佳tic, toc时间。

看一下这个问题，答案说明mldivide很聪明，也给出了如何看Matlab用什么来解决的建议A\b。这可能会为您提供有关优化选项的提示。